Bonsoir
j'ai du mal à saisir la nuance entre la fonction f est un C1 difféomorphisme local sur un ouvert V par exemple et f : v-->f(v) est un C1 difféomorphisme?
fifrelette
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Bonsoir
j'ai du mal à saisir la nuance entre la fonction f est un C1 difféomorphisme local sur un ouvert V par exemple et f : v-->f(v) est un C1 difféomorphisme?
fifrelette
Salut,
dire qu'une fonctionest un
-diffeomorphisme (global) signifie que
est une bijection,
est
et que
est aussi
.
Dire queest un
-diffeomorphisme local en un point
de
signifie que
, il existe un voisinage ouvert
de
(a priori différent de
) tel que la restriction
est un
-diffeomorphisme (global).
est un
-diffeomorphisme local sur
si
est un
-diffeomorphisme local en tout point
de
.
Ex:
1)définie par
est une bijection
qui n'est pas un diffeomorphisme.
2)définie par
est un
-diffeomorphisme local en tout point mais n'est pas un diffeomorphisme global.
C'est quand même pas super clair...Salut,
dire qu'une fonctionest un
-diffeomorphisme (global) signifie que
est une bijection,
est
et que
est aussi
.
Dire queest un
-diffeomorphisme local en un point
de
signifie que
, il existe un voisinage ouvert
de
(a priori différent de
) tel que la restriction
est un
-diffeomorphisme (global).
est un
-diffeomorphisme local sur
si
est un
-diffeomorphisme local en tout point
de
.
Ex:
1)définie par
est une bijection
qui n'est pas un diffeomorphisme.
2)définie par
est un
-diffeomorphisme local en tout point mais n'est pas un diffeomorphisme global.
Est ce parceque les fonctionset
ne tendent pas vers 0 de la même manière?
Bonjour,
En fait si f est un C1-difféomorphisme local sur v, f:V-->f(v) est un C1 difféomorphisme si F est injective?
Dans l'exercice que j'essaie de comprendre, on a montré que f est 2 lipschitzienne , après on s'en sert pas, ça m'étonne parce que souvent on réutilise les résultat: pour appliquer le théorème de l'inversion local (calcul du jacobien, si non nul, df est bijective donc f est C1 difféomorphisme local), f doit-elle être C1 ou lipschitzienne suffit.
fifrelette
Je ne sais pas ce que "converger vers 0 de la même manière" signifie.
Pour montrer que f est un difféomorphisme local en tout point, on peut au choix:
1) calculer le jacobien de f et utiliser le théorème d'inversion local.
2) montrer directement que f est un difféomorphisme local en tout point (en particulier, on peut utiliser le fait que si on identifievia
, la fonction
s'identifie à la fonction
).
Oui. La preuve est simple: on sait déjà que f est C1, et puisque f est injective,est surjective. Par ailleurs,
est
. En effet, soit
un point de
. Alors il existe
tel que
. Comme f est un difféo local en x, il existe un voisinage ouvert
sur lequel
est un difféo. Donc
, qui est l'inverse de
, est
. En particulier,
est
en
. Donc
est bien
.
Une fonction lipchitzienne est continue mais pas différentiable en général (par exemple, la norme euclidienne surDans l'exercice que j'essaie de comprendre, on a montré que f est 2 lipschitzienne , après on s'en sert pas, ça m'étonne parce que souvent on réutilise les résultat: pour appliquer le théorème de l'inversion local (calcul du jacobien, si non nul, df est bijective donc f est C1 difféomorphisme local), f doit-elle être C1 ou lipschitzienne suffit.est 1-lipchitzienne mais pas différentiable). Par conséquent, difficile de calculer son jacobien! Donc il faut que la fonction soit
pour pouvoir espérer utiliser le théorème d'inversion locale (avec un e car c'est l'inversion qui est locale).
Le jacobien mesure la courbure d'une (hyper) surface, c'est bien cela?Je ne sais pas ce que "converger vers 0 de la même manière" signifie.
Pour montrer que f est un difféomorphisme local en tout point, on peut au choix:
1) calculer le jacobien de f et utiliser le théorème d'inversion local.
2) montrer directement que f est un difféomorphisme local en tout point (en particulier, on peut utiliser le fait que si on identifievia
, la fonction
s'identifie à la ple, la norme euclidi locale).
Si le déterminant est nul alors cela signfie qu'il n'est pas possible de passer d'une surface plane à une autre surface sans la déchirer.
Je suis désolé de sortir de l'abstraction algébrique pour m'engouffrer dans la concrétude de la géométrie...
Je ne vous suit pas. Mon exemple est une fonctionde
dans
. Ce n'est pas une hypersurface puisque l'ensemble d'arrivée de
n'est pas de dimension 1. On pourrait aussi imaginer f comme paramétrisation d'une surface (puisque le domaine est un ouvert de
) mais l'ensemble d'arrivée est
donc cela a peu d'intérêt.
Dernière modification par taladris ; 03/12/2012 à 12h09.