forme linéaire continue

[invite25ea86a8]

Bonsoir

Soit formé des suites réelles. On identifie donc E' à l'espace des suites bornées muni de la norme

Je voudrais montrer qu'il existe une forme linéaire continue sur E' qui, à toute suite convergente associe sa limite.

On pose

Soit g l'application qui à une suite de c lui associe sa limite
je n'arrive pas à montrer que cette application est linéaire continue pour la norme deAprès ça je pourrai d'après Hahn-Banach l'étendre en une forme

Merci d'avance pour tout aide
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[invited5b2473a]

Tu peux essayer de montrer que g est lipschitzienne.

[invite25ea86a8]

pour tout n, donc par passage à la limite (où g(x) est la limite de la suite x quand n -> +oo)
D'ou la continuité

Théorème :
Soient E un espace vectoriel normé, F un sous espace vectoriel de E et .
Alors il existe dont la restriction à F est égale à f et vérifiant

Ici on pose F = c, c'est un sev de alors il existe dont la restriction à F est égale à g et vérifiant

Pour montrer que cette f n'est pas dans l'image de eval : E -> E" je ne sais pas trop quoi faire