Fonction et existence de tangente

[invite131799f6]

Bonjour à tous,
je me permets de soumettre a votre sagacité un exercice que je n'arrive pas à résoudre, toute aide est la bienvenue

on considère une fonction f continue sur [a,b] derivable sur ]a,b[ et tel que f(a)=f(b)=0
monter que pour tout point d exterieur au segment [a,b], il existe c appartenant à ]a,b[ tq la tangente à f en c passe par le point d'abscisse d.

Je vous remercie d'avance pour votre aide
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[invited5b2473a]

d appartient à quoi ?? R ou R²?

[doryphore]

Tu choisis un réel d parmi les valeurs possibles puis tu construis une fonction g telle que g(a)=g(b)=0 et telle g est continue sur [a,b] et dérivable sur ]a,b[. Tu choisis g de telle sorte que quand sa dérivée s'annule, ça veuille dire qu'au point où ça s'annule, la tangente à ta courbe Cf en ce point c ait pour pente f'(c) et tu te sers du théorème de Rolle pour conclure...

[doryphore]

passe par le point d'abscisse d

....... et d'ordonnée 0.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited5b2473a]

effectivement j'avais pas fait attention

[doryphore]

Tu choisis g de telle sorte que quand sa dérivée s'annule, ça veuille dire qu'au point où ça s'annule, la tangente à ta courbe Cf en ce point c ait pour pente f'(c)

Ce n'est pas ce que je voulais dire, je voulais dire:

Tu choisis g de telle sorte que quand g' s'annule en c, ça veut dire que la pente de la droite qui joint le point D(d,0) au point M(c,f(c)) soit égale à f'(c).

[invite636fa06b]

Bonjour,

Je ne pense pas qu'on puisse démontrer que tous les points extérieurs au segment soient "atteignables".
Il suffit de prendre f(x)=4 - x² et a=-1 b = 1.
les point -2 et +2 sont inaccessibles (en fait seuls les points extérieurs à ]-2.5 ; 2.5[ vérifient la propriété

[invite131799f6]

merci beaucoup pour ces réponses.
doryphore, je vais faire comme tu as dit .
penses tu que la fonction g =f(x)/(d-x) marche ?
merci d'avance pour vos réponses

[pat7111]

Il suffit de prendre f(x)=4 - x² et a=-1 b = 1.
les point -2 et +2 sont inaccessibles

Ton "contre-exemple" ne vérifie pas l'hypothèse f(a)=f(b)=0

[doryphore]

merci beaucoup pour ces réponses.
doryphore, je vais faire comme tu as dit .
penses tu que la fonction g =f(x)/(d-x) marche ?
merci d'avance pour vos réponses

Je suis bien content de ne pas te l'avoir donner moi-même...puisque tu l'as trouvée

Moi j'avais choisi l'opposé de cette fonction g(x)=f(x)/(x-d) car elle traduit exactement la pente de la droite qui lie D à M.

En fait quand x varie de a vers b, cette pente augmente jusqu'à des maxima relatifs qui sont les points de la courbe pour lesquels les tangentes en ces points passe par D, puis elle diminue (des plateaux sont aussi possibles), il faut donc éviter de parler d'unicité de tel points (au même titre que dans la situation du théorème des accroissements finis).

[invite131799f6]

merci pour ton aide doryphore, je resume donc le raisonnement, peux tu juste me dire s'il manque quelque chose :

j'introduis la fonction g =f(x)/(d-x)
g'= [f'(x)(d-x)+f(x)] / (d-x)^2
je ne vois pas pourquoi g' s'annule en c.
Et apres, je fais quoi ?

Merci d'avance pour ton aide

[pat7111]

j'introduis la fonction g =f(x)/(d-x)
g'= [f'(x)(d-x)+f(x)] / (d-x)^2
je ne vois pas pourquoi g' s'annule en c.
Et apres, je fais quoi ?

Je me permets de répondre à la place de Doryphore. Tout est déjà dit dans son premier post :

On vérifie facilement que l'on est dans les hypothèses du th de Rolle. On l'applique : tq g'(c) = 0 et on vérifie que la tangente à f au point (c, f(c)) passe par (d, 0)

[doryphore]

Pour bien comprendre l'exercice, il faut faire un dessin. Tu places un point D sur l'axe des abscisses et un point M n'importe où sur la courbe.
Tu traces la droite (DM) et tu imagines ce qui se passe quand M décrit la courbe...
LA pente des droites (DM) va augmenter jusqu'à atteindre un maximum puis va redescendre...(pour faire simple)
Ce maximum correspond au moment où (DM) est tangente à la courbe: or, quand on a un maximum c'est que la dérivé s'annule (pour faire simple).


Ta fonction g: x -> f(x)/(x-d) est continue sur [a,b], dérivable sur ]a,b[ et telle que g(a)=g(b)=0 donc elle vérifie les hypothèses du théorème de Rolle et il existe au moins un réel c de ]a,b[ tel que g'(c)=0.

On a donc (f'(c)(c-d)-f(c))/ (...) =0 donc f(c)-0/(c-d) = f'(c), cela veut bien dire que la droite passant par D et M(c,f(c)) est la tangente à Cf en M. (puisque sa pente est égale à f'(c).