géométrie dans l'espace

[Isis-mirka]

Bonjour a tous, voila j'ai quelques souci avec un exo , c'est le numéro 6
Comment démarrer, que représente le produit vectoriel dans le cube ?
merci d'avance et bonne journée
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[balhrog]

Salut,

ramene toi à la définition d'un produit vectoriel : AB^AD = ||AB||*||AD||*sin(AB,AD) = 2*AE

(désolé pour les notation des vecteurs et du produit scalaire)

[DucK974]

Salut.
Le produit vectoriel de vecteurs a et b est un vecteur noté a^b perpendiculaire au plan formé par a et b et tel que (a, b, a^b) soit orienté direct. Pour t'aider ca revient à dire que (a, b, a^b) vérifié la règle des 3 droits.

[balhrog]

Voilà, faut pas chercher plus loin.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Isis-mirka]

d'accord, merci je devrais m'en sortir avec vos réponses. Pendant que j'y suis , pour 7,a); comment je peux trouver les coordonnées de u' (x,y,z) car je sais que sa norme vaut 1 donc, sqrt(x^2 +^2 +z^2)=1 et qu'il est colinéaire a u donc u' = k*u (k>0 car le même sens ?) ?
merci pour votre aide

[balhrog]

Oui, tu dois juste resoudre ton equation , ce qui équivaut à

[Isis-mirka]

Ah....mais oui !
C'était vraiment tout bête. En tout cas merci de 'avoir répondu , c'est sympa
Je vais voir la suite et je vous redemanderai si je bloque à nouveau.

[Isis-mirka]

Désolé de vous géranger a nouveau, mais il se trouve que j'ai encore un probleme . C'est l'exo 7, question 1.c)
J'ai des difficultés à trouver les coordonnées du vecteur w.
je suis parti sur le fait que si l'on a une Base OrthoNormée Directe (BOND), alors les vecteurs font entre eux des angles de 90 degrés, et donc on aurait des produits scalaires nuls pour ces vecteurs
de plus, w étant un vecteur unitaire, sa norme vaut 1.
mais , je bloque ( j'ai déjà des valeurs pas tres sympathiques , peut etre me suis-je trompé, mais je n'ai rien aperçu qui serait érroné... ) dans mes calculs....
Merci d'avance.

122 001.jpg

122.1 001.jpg

[DucK974]

w = (u'^v)/||u'^v||

[Isis-mirka]

oui mais que vaut u'^v , je sais calculer ses coordonées et sa norme puisque c'est un vecteur mais comment effectuer le calcul (u'^v)/||u'^v||

[gg0]

Bonjour.

(u'^v)/||u'^v|| =1/||u'^v|| (u'^v) et quand on multiplie un vecteur par un scalaire, ça multiplie chacune de ses composantes par ce scalaire.

Cordialement.

[Isis-mirka]

si j'ai bien suivi, le résultat sera 1/le vecteur (U^V) dont chacune de ses coordonnées sera multipliée par le norme de U^V ?
sous quelle forme serait le résultat alors ?
merci

[DucK974]

Salut.
Je t'explique. Tu as deux vecteurs u' et v. A supposer qu'ils soient orthonormés alors il te manque un troisième vecteur pour former une base orthonormée de IR³. Or, le produit vectoriel de deux vecteurs a et b par exemple est un vecteur c = a^b tel que c est perpendiculaire au plan formé par a et b.
Dans notre cas a et b étant u' et v, la famille (u', v, u'^v) forme une base orthoGONALE car chaque vecteur est orthogonale deux à deux. Pour avoir une base orthoNORMEE il te reste donc à normaliser (mettre de norme égale à 1) chacun de tes vecteurs. Et comment normaliser un vecteur ? Tout simplement en le divisant par sa norme.
Au final, u' et v étant déjà normalisé dans ton cas, te reste plus qu'à normaliser u'^v ... en le divisant par sa norme.

[gg0]

Isis-Mirka,

il faudrait lire !!

1/||u'^v|| (u'^v)

Ce qui divise 1, ce n'est pas un vecteur ! D'ailleurs, tu sais diviser par un vecteur toi ? Moi pas !

[Isis-mirka]

oui c'est vrai mais dans 1/||u'^v|| (u'^v) , on a u'^v qui est un vecteur je crois ?

[gg0]

Dans

il y a aussi un vecteur. Quel est le problème ?

[Isis-mirka]

grace à vos deux explication , j'ai copris que le vecteur w doit etre = à : (u'^v)/||u'^v|| pour que l'on ait une base orthonormée directe
Pour calculer U'^V comment je peux faire ? (je viens de commencer le chap ,dsl)
J'ai une formule pour la norme: ||u'^v||= ||v||*||u'|| *sin(u',v) avec la valeur absolue du sin().
mais pour (u'^v) existe t-il une formule simple ?

[DucK974]

Oui. Un vecteur est divisible par un nombre mais l'inverse non !
Quand tu dis divises un vecteur par 2 par exemple ca veut tout simplement dire que tu divises sa taille de 2. Tu divises en fait sa norme.

[Isis-mirka]

heu...désolé, j'ai du mal comprendre la formule qui était écrite, en fait il n'y a pas de problême sur la compréhension de "1/||u'^v|| (u'^v)" , vos exemple m'on fait comprendre, merci

[DucK974]

http://fr.wikipedia.org/wiki/Produit_vectoriel

[Isis-mirka]

avec les coordonnées ! je ne l'ai pas dans le cours celle-ci ! bizarre...
Sinon, pour les coordonées de u' et de v ,sont-elles correctes ? parceque je ne suis pas sur
merci d'avance et dsl pour la lisibilité des feuilles

[Isis-mirka]

Je profite de votre aide m'y m'est très utile pour un exo:
en fait ,, on me demande de montrer que deux droites sont coplanaires et trouver un plan qui les contiennent.
voici les deux droites d et d':

d: x= 2z+1 ; y= z-1

d': x= z+2 et y=3z-3

mais on a pas d' équations paramétriques habituelles , du coup que faire face a ce genre d'équations ( que je n'ai encore jamais vu) ?

[Isis-mirka]

j'ai cherché sur internet mais je ne vois pas d'exo avec cette sorte d'équations , Qu'est-ce que cela veut dire ? en principe, il ya trrois équations avec un parametre mais ici......

[gg0]

Dans l'espace, deux droites sont coplanaires si elles sont ... ou ...
(dans le plan, deux droites sont .. ou ...).

[Isis-mirka]

Dans l'espace, deux droites sont coplanaires si elles sont confondues ou sécantes ? je crois
dans le plan, deux droites sont sécantes ou parallèles.
Mais où voulez -vous en venir , parce que la , on est bien dans l'espace ? ( avec x, y et z )

[Isis-mirka]

le probleme c'est que la , z apparait dans les expression avec x et y et comment gérer cela? on dit que z et le parametre ?

[gg0]

Si des droites sont coplanaires, ce sont des droites d'un plan, donc elles sont soit sécantes, soit parallèles.

Tes droites sont données par des équations de plans (deux plans non parallèles déterminent une et une seule droite). Tu peux soit chercher si elles sont sécantes en résolvant le système des 4 équations, puis voir, si ce n'est pas le cas, si elles sont parallèles.
Tu peux aussi en chercher une représentation paramétrique. Prendre le paramètre égal à z est pratique, mais on distinguera la cote z du paramètre en posant par exemple z=t.

Mais ici, je te conseille la première méthode ...

Cordialement.

[Isis-mirka]

donc si j'ai bien compris, avec la premiere méthode,je résoud le systeme a 4 equations pour voir si elles sont sécantes et si c'est le cas , je trouve les coordonnées d'un point , celui d'intersection des deux droites. je dois regarder aussi si elles sont paralleles , mais avec les equations paramétriques classiques: facile mais la , comment faire ?
Merci pour votre aide, c'est sympa

[gg0]

Ne parle pas en l'air, fais ...

[Isis-mirka]

je trouve x=3
y=0
z=1
c'est donc le point H d'intersection des deux droites

donc, si elles sont sécantes , c'est qu'elles sont coplanaires . Fin de la question alors ?
pour l'équation du plan les contenant , je fais comment ?
je peux trouve deux vecteurs directeurs et le point H et je pars sur des vecteurs coplanaires ou si je considere trois points ( H , deux appartenant aux droites ? )
Merci beaucoup