Démontrer qu'une fonction est derivable dans I

invite05627f27 · 09/12/2012, 16h52

Bonjour,

Je souhaite trouver les domaine de définition de fonctions et de déterminer si elle sont dérivable dans cet intervalle, puis calculer leur dérivée.

voici la première fonction : (1 + (1/x))^x

Alors, cette fonction est définie dans IR*

maid je ne sais pas comment démontrer la continuité de cette fonction, je ne sais pas comment montrer la continuité dans un intervalle.

je sais qu'une fonction est continue en a si f(x) = f(a) quand x -> a et ça me semble beaucoup de a à calculer dans IR*...

merci de votre aide

**Seirios** · 09/12/2012, 16h56

Bonsoir,

Il faut revenir à la définition de la puissance réelle via le logarithme. En particulier, la fonction n'est pas définie sur tout $\text{[math]}$ .

**gg0** · 09/12/2012, 16h59

Pour les fonctions fabriquées à partir des fonctions élémentaires, on utilise les théorèmes sur la continuité et la dérivabilité de ces fonctions simples, leurs sommes, produits, quotients et composées. Donc il te faut les connaître.

Cordialement.

invite05627f27 · 09/12/2012, 17h12

merci votre aide

je ne vois pas trop ce que Seirios veux dire, mais sachant qu'il y a le logarithme je supposes que je dois l'écrire sous la forme :

f(x) = e ^ (x * ln( 1+ 1/x ) )

je peux donc dire que x * ln( 1+ 1/x) est continue et définit sur IR*+ car ln(y) est définie et continue sur IR*+, mais techniquement j'ai modifié la fonction non ?

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Seirios** · 09/12/2012, 17h15

Par définition, $\text{[math]}$ , donc tu ne changes pas la fonction. L'argument pour la continuité est correct, mais tu as fait une erreur sur le domaine de définition.

invite05627f27 · 09/12/2012, 17h36

ok,

lim x-> 0 de x * ln (1 + 1/x) = lim u->0 de (ln (1 + u)) / u = 0 /* avec u = 1/x */ donc lim x->1 de f (x) = 1

du coup je viens de démontrer que si f(x) est définie sur IR+ alors elle est continue sur IR+

mais exp est définie dans IR, ln dans IR+ et 1/x dans IR* donc je ne sais pas où est mon erreur sur l'ensemble de définition...

invite05627f27 · 09/12/2012, 17h38

mais sachant que u^0 = 1 on ne cherche pas a calculer 1/0 dans l'expression (1 + 1/0)^0 ?

**Seirios** · 09/12/2012, 17h39

Pour que $\text{[math]}$ soit bien définie, il faut que $\text{[math]}$ , ce qui n'est pas équivalent à $\text{[math]}$ .

invite05627f27 · 09/12/2012, 17h55

ahh il faut donc que 1 + 1/x > 0 donc 1 > -1/x soit ]- inf ; -1[ U ]0 ; + inf [

0 exclu à cause du 1/x

**Seirios** · 09/12/2012, 18h03

C'est bien ça. Ensuite, pour les questions de régularité, tu peux utiliser les propriétés sur la composition, comme tu as commencé à le faire pour la continuité.

invite05627f27 · 09/12/2012, 18h15

merci beaucoup !

comment tu fais pour écrire tes calculs comme ça ? c'est beaucoup plus lisible...

**gg0** · 09/12/2012, 19h23

Dans les messages du début, lis
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