Topologie

[iroll754]

Bonjour à tous,
En m'entraînant pour mon partiel de topologie, je suis tombé sur le corrigé d'un exercice simple concernant la définition des ouverts et fermés:
est un fermé non borné
Or cet ensemble est la préimage d'une fonction continue (la fonction identité) qui prend ses valeurs dans R tout entier. Or R est à la fois ouvert et fermé. Comment peut-on en déduire que c'est un ensemble fermé ?

Merci beaucoup pour votre aide !
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[gg0]

Bonjour.

la fonction est continue de dans et {0} est fermé.
Plus généralement, le graphe d'une donction continue de dans est fermé (même idée).

Cordialement.

[iroll754]

Merci ! Mais à ce moment la pourquoi est-il non borné ? (singleton) d'ailleurs pour qu'il soit borné faut-il qu'il soit majoré et minoré ou l'un des deux (j'ai cru comprendre que l'un des deux suffisait, mais c'est troublant car une suite bornée est majorée ET minorée)
Merci encore !

[gg0]

Heu...

ce n'est pas {0} qui est en cause, mais
C'est quoi, pour toi, un borné de ?

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[iroll754]

Ah oui pardon. Il s'agit de l'ensemble de départ qui est l'ensemble des couples tels que x = y donc non bornés car pas de majorants ni de minorants. [0,1] est un borné [0,1[ n'en n'est pas un. ni [0,+oo[ Pour moi il faudrait un minorant et un majorant malgré le fait que j'ai vu dans des corrigés que [1,+oo[ est borné ce que je ne comprends pas...

[DSCH]

Vous avez mal lu dans ces corrigés, il semble que vous confondiez borné avec fermé…

[taladris]

Attention,

tu confonds plusieurs notions importante.

Ah oui pardon. Il s'agit de l'ensemble de départ qui est l'ensemble des couples tels que x = y donc non bornés car pas de majorants ni de minorants.

Il y a (au moins) deux notions de partie bornée en mathématiques:
1) En topologie, une partie d'un espace métrique est bornée si elle est contenue dans une boule.
2) Une partie d'un ensemble ordonné est bornée si elle admet un majorant et un minorant.

Dans , les deux notions coincident. Mais pas en général.

[0,1] est un borné [0,1[ n'en n'est pas un.

Non, [0,1[ est aussi borné (majoré par 1 et minoré par 0). Mais il n'est pas compact (car non fermé). Du point de vue de l'ordre, il admet une borne supérieure (1) mais pas de plus grand élément.