Equation différentielles et diagonalisation de matrice

[invite6bb500d6]

Bonjour à tous,

j'ai des exercices à faire dans le cadre d'une leçon mais il se trouve que je ne comprend pas, et que je n'arrive pas à tout faire, je suis toujours bloqué à un moment. J'espère que vous pourrez m'aider à finir de résoudre mes problèmes et à comprendre la leçon et mes erreurs, si j'en ai fait.

Exercice 1 Donner toutes les solutions de l'équation différentielle (E) 3y'+2y = sin(x)+x

Exercice 2 on considère la matrice ( 2 1 / 1 1 ). Diagonaliser A.

Exercice 3 Donner toutes les solutions de l'équation différentielle (E) y"+2y'-3y=e^(-x)


Pour l'exercice 1 j'ai fait : (E0) = 3y'+2y=0
y'=(-2y)/3 donc a(t) = -2/3
A(t) = (-2/3)x
donc y0=Ce^(2/3x)

(E) 3y'+2y=sin(x)+x
On a y=Ce^(2/3x)
y'=C'e^(2/3x)+C*(2/3)e^(2/3x)
On remplace :
(E) 3(C'e(2/3x)+C*(2/3)e^(2/3x))+2*Ce^(2/3x)

Et là je suis bloquée.


Exercice 2
on fait det (2-λ 1 / 1 1-λ ) = (2-λ)*(1-λ)-1*1=λ²-3λ+1
λ²-3λ+1=0
Δ=5
λ1=(-3-racine5)/2 et λ2=(-3+racine5)/2

On a Ae=λe donc A(x,y)=(-3-racine5)/2(x,y) donc
2x+y=(-3-racine5)/2
x+y=(-3-racine5)/2

Et après ça me donne des résultats bizarres quand je résous, et l'inverse de la matrice que je trouve est dure à faire. Ai-je fait une erreur?


Exercice 3 non commencé étant donné que je comprend encore moins les équations différentielles d'ordre 2.
-----

[gg0]

Bonsoir.

Pour l'exercice 1, tu peux chercher une solution particulière sous la forme a sin(x)+ b cos(x)+ cx + d.

Cordialement.

NB : Pour l'exercice 1 et 3, tu as intérêt à bien apprendre ton cours.

[invite6bb500d6]

Je ne vois pas bien à quoi correspond tout ça mais je vais essayer. Ce que j'ai fait pour l'exercice 1 est il utilise du coup?

[invite8ac20103]

Bonjour,

Pour:

1) Utilise une méthode de ton cours. Si tu as vu la méthode dite de " l'intégrant ", je te la conseille.

2) Ta trouver les 2 valeurs propres donc c'est tout bon, tu diagonalise A et la matrice de passage n'est pas bien dur à calculer, c'est une matrice 2x2 ta aussi une " formule " du type : 1/Det(A) x ^tCom(A)

3) Revois ton cours je pense. Si non, résoud l'équation caractéristique, trouve les racines, tu obtient y₁ et y₂.
Pour la solution particulière je te conseille de la rechercher sous la forme: k.e^-x.

A toi de jouer pour les calculs.

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6bb500d6]

1.Aucune méthode de ce nom... Je vais rechercher sur internet.
2.Je trouve des valeurs bizarres pour la matrice, et pour l'inverser c'est assez compliqué, on a jamais fait des choses aussi compliqué dans le cours, n'y a t il pas une erreur?
3.Je ne comprend pas les cours de mon prof, il n'est pas pédagogue, je vais essayer de me débrouiller par moi même. merci pour les suggestions!

[invite8ac20103]

Bien alors pour te guider un peu plus.

1) Equation linéaire d'ordre 1, y'(x) + a(x)y(x) = b(x) : solution y(x) = 1/u(x) [ c + ∫b(x)u(x)dx ] , avec u(x)= e^∫a(x)dx

On démontre ca en utilisant la méthode de la variation de constante.

2) Je pense que tu as les bonnes valeurs propres, mais utilise la formule que je t'ai donné, tu ne sais peut etre pas l'utilisé? la notion de comatrice, transposée d'une matrice t'es inconnu?

3) Equation linéaires d'ordre 2 à coef constant : y"(x) + a.y'(x) + b.y(x) = c(x) (E)

Commence par résoudre (EC) : r² + a.r + b =0

Cela te donne des solutions du type:

y₁ = A.e^r₁x et y₂ = B.e^r₂x

( ca c'est pour toi car ton discriminant >0 )

Cdt


NB: Je te conseil de bouquiner à la B.U en complément..