Série entière/ équa diff

[invite705d0470]

Bonjour, je suis en train de faire un exercice pour me remettre dans le bain, bref...
Je dois trouver toutes les fonctions développables en série entière au voisinage de 0 qui vérifient la relation fonctionnelle (équa diff): .

Pour ça, j'ai voulu raisonner par analyse synthèse, en supposant que vérifiait (*).
On obtient, sur tout fermé inclus dans l'intervalle de convergence (donc sur un certain voisinage de 0) les relations suivantes: ce qui me permet de déterminer parfaitement f - surprenant sans conditions initiales !!!- sous la forme .
Bon, je réinjecte et ...il me reste du , tout le reste se simplifiant ! Erreur de calcul pas très loin j'espère ...

La synthèse quant à elle pose bien problème: cette série a un rayon de convergence infini (on avait fait l'hypothèse que celui-ci était non nul) et sa fonction somme vérifie l'équation fonctionnelle ... donc cette solution est unique ?! Dur à avaler :/

Quoiqu'il en soit, voyez vous des erreurs, qu'elles soient de calcul ou surtout de raisonnement ? Je m'étonne encore (euphémisme: en fait, je n'y crois pas une seconde ...) de ne pas trouver une famille de solutions ...
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[invitef3414c56]

Bonjour,
Je pense que votre démarche est tout à fait correcte, et que votre solution est valide. ( Une erreur dans la vérification ?).

Pour les équations différentielles avec second membre, la règle est que la solution générale est (solution particulière)+(solution quelconque de l'équation homogène). Comme vous cherchez des solutions séries entières, la règle devient: La
solution générale série entière est (solution particulière série entière)+(solution quelconque série entière de l'équation homogène).
Ici, les calculs que vous avez déjà fait montrent que si le second membre est la série entière nulle, une série entière solution est la série nulle (parce que a_0=0). Donc l'espace des solutions séries entières de l'équation homogène est réduit à {0}, et il n'y a plus de mystère: pour toute série entière au second membre, il y a au plus une seule solution série entière de l'équation.

Cordialement.

[invite705d0470]

D'accord !

Et bien merci à vous

[Seirios]

Bonsoir,

Pour ma part, je trouve comme solution entière ; peut-être as-tu oublié le dans l'expression de ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef3414c56]

Bonsoir,
Je me suis fait la m\^eme réflexion au départ. Mais a_2=a_0/(3.4)=1/(2.3.4) et donc le facteur 2 disparait dans la factorielle.

Cordialement.

[Seirios]

Effectivement, j'ai dû aller un peu vite en besogne.

Sinon, pour la question des conditions initiales, tu peux remarquer que si tu évalues l'ED en x=0, tu trouves y(0)=1/2, puis si tu l'as dérives et que tu l'évalues de nouveau en x=0, tu trouves y'(0)=0. Donc les conditions initiales sont imposées par l'ED elle-même. En fait, l'idée de trouver une solution par condition initiale vient du théorème de Cauchy-Lipschitz, que tu ne peux appliquer ici que sur et . Tu dois donc obtenir une famille de solutions (selon la condition initiale choisie) sur chaque intervalle, mais comme tu cherches une solution sur tout entier, tu dois "recoller" deux telles solutions en 0 pour trouver une fonction suffisamment lisse (au moins deux fois dérivables). Selon moi (je ne l'ai pas explicitement vérifié), c'est ici qu'intervient l'unicité : il n'y a qu'une seule manière de recoller deux solutions pour obtenir une fonction analytique.

[invite63e767fa]

Bonjour,

pour info., la solution générale de l'EDO est aisée à obtenir :
y(x) = (a*exp(x)+b*exp(-x) -1) / x²
avec les constantes quelconques a et b.
Ou, sous une autre forme :
y(x) = (A*cosh(x)+B*sinh(x) -1) / x²
avec les constantesquelconques A et B.
Ceci permet de comparer avec tes solutions.