Couples variables aléatoires discrètes

[invite204ee98d]

Bonsoir,

L'exo suivant me pose une difficulté:

Énoncé: Le nombre N de personnes se connectant à internet durant une période donnée suit une loi de Poisson de paramètre lambda. Chaque personne connectée à la probabilité p de télécharger de la musique. On suppose que les internautes se connectent pour télécharger de la musique indépendamment les uns de autres. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de personnes connectées pour télécharger de la musique.

1) Quelle est la loi de X sachant que [N=n] ?

Celle ci ne me pose pas de difficulté: X suit une loi binomiale B(n,p) donc P(X=k) sachant N=n vaut : p^k *(1-p)^(n-k)* k parmi n

2) Déterminer la loi de X.

Pour moi ici il faut calculer P(X=k) mais je ne vois ce que ca donne car ici on nous dit pas sachant N=n par exemple, doit on faire une somme pour k allant de 0 à l infini ?

Merci, au revoir.
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[gg0]

Bonsoir.

Oui, il s'agit de la formule des probabilités totales, qui donne ici une série.

Cordialement.

[invite204ee98d]

Oui d'accord mais dans la correction de cet exercice pour la question deux il y a écrit:

P(X=k)= somme (pour k allant de n à l infini) de P(X=k intersection n=N) , j'ai passé du temps dessus mais je ne comprends pas pourquoi.

Merci de m'expliquer.

[gg0]

N'est-ce pas évident ?

l'événement "X=k" est la réunion d'une infinité d'événements tous incompatibles "X=k et N=n", donc sa probabilité est la somme des probabilités de chacun d'eux (sigma-additivité). Ce n'est que la généralisation d'une propriété classique pour les réunions finies d'événements.
L'intérêt est que P(X=k et N=n)=P(X=k/N=n)P(N=n) ce qui permet le calcul.

Bon travail !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite204ee98d]

Je ne comprends pas une chose. On ne nous dit pas dans la question deux que N=n. Seulement dans la question une.

[invite204ee98d]

Et une autre chose. Si N=n ca veut dire qu'il y a n personnes connectées sur internet or on fait varier k (personnes connectées sur internet qui téléchargent de la musique) de n à l'infini, pour moi ca devrait varier de 0 à n puisque si on a que n personnes connectées on peut pas en avoir plus qui téléchargent sinon la somme de ces probabilités serait nulle.

[gg0]

Ah,

j'ai fini par comprendre ce qui te gênait. Ta formule est fausse, ce qui varie, c'est n, pas k, puisqu'il est fixé dans le premier membre :

"P(X=k)= somme (pour k allant de n à l infini) de P(X=k intersection n=N) " est faux. la bonne formule est

On peut démarrer la série à n=0, mais les événements pour n de 0 à k-1 sont tous vides.

Cordialement.

NB : A retenir : Une lettre qui est fixée par le contexte n'est jamais l'indice d'une somme ou la variable d'une intégrale, ou l'inconnue d'une équation, ou ...

[invite204ee98d]

Merci, j'ai compris.