Matrices diagonalisables

[jules345]

Bonjour,

Voila j'ai un exercice où j'aimerai avoir quelques précisions:

On me demande de déterminer pour quelle valeurs de u,v réels les matrices suivantes sont elles diagonalisables ?







J'ai commencé par la première je trouve que le polynôme caractéristique est égal à

Donc pour que A soit diagonalisable, il faut que l'ordre de multiplicité de la valeur propre 2 soit égale à la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 2, autrement dit l'espace propre associé à la valeur propre 2 doit être de dimension 2, en calculant la matrice je trouve qu'elle vaut



ce qui équivaut à ce que la matrice M doit être de rang 2, donc selon moi u doit être différent de -3 et v doit être différent de 1 mais cela suffit il ?

Merci à vous
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[invite652ff6ae]

Bonjour

Ton raisonnement est juste, la matrice doit être de rang 2, donc ses deux dernières colonnes ne doivent pas être liées, ce qui donne uv différent de 3.

[jules345]

Certes je comprends bien pourquoi le produit de u et v doit être différent de 3 mais ne peut on pas aller un peu plus loin ? c'est à dire déterminer les u et v précisément ?

[gg0]

Bonjour.

Que veux-tu dire ? Pourquoi u et v auraient-ils une seule valeur possible ?
Tu as trouvé une condition nécessaire. A toi de voir si elle est suffisante. Si c'est le cas, tu as terminé. Si ce n'est pas le cas, tu vas avoir des précisions sur les conditions.
Ne perds pas ton temps avec des questions futiles.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[jules345]

Re,

En fait je ne disais pas que u et v auraient une valeur possible mais je me demandais si il était possible de trouver des couples u,v telle que u*v serait différent de 3 j'aurais aimé savoir si les couples telles que u*v=3 pouvaient être listés. Qu'en pensez vous ?

Merci

[gg0]

Bien sûr, ils peuvent être listés : {(u,v)/uv=3}={(u,3/u)/u réel non nul}.

Où est le problème ? Et à quoi amène-t-il ?

Cordialement.

[jules345]

oui mais on ne peut pas essayer de trouver une condition qui fait que l'on va avoir "moins de couples" car d'après ce que vous dîtes il y aurait une infinité de solutions, je me demandais si je pouvais trouver une condition en plus qui fait que j'aurai moins de coupLes ?

[Jedoniuor]

Bonsoir,

Est-ce qu'il n'y aurait pas unproblème dans l'affirmation "le rang de M doit donc \^etre égal à 2" ? Pour que la dimension du sous-espace propre relatif à la valeur propre \lambda=2 soit 2, il faut que le noyau de M soit de dimension 2, et donc le rang 1. Les deux dernières colonnes doivent donc \^etre proportionnelles, et on trouve comme CNS uv=-3.

Sauf erreur...
Cordialement.

[jules345]

En effet c'est exact, merci Pour la deuxième matrice par contre comment feriez-vous ?
On voit facilement que le polynôme caractéristique est et je re applique la méthode précédente en calculant le sous espace propre associé à la valeur propre 3 ?

Merci de vos conseils

[Jedoniuor]

Bonjour,
Pour la seconde matrice, appelez f l'endomorphisme associé et e_j, j=1...,n la base canonique. Si j'ai bien interprété votre matrice, on a pour $j=1,...,n-1$ et . Pour la valeur propre 3, vous avez donc toujours n-1 vecteurs propres linéairement indépendants, la dimension du sous-espace propre F_3 relatif à la valeur propre 3 est donc toujours . D'où la discussion:

a) . Dans ce cas, vous pouvez trouver un vecteur propre relatif à la valeur propre u, qui ajouté à vous donne une base de diagonalisation. et la matrice est diagonalisable.

b) . Si la matrice B était diagonalisable, comme il n'y a qu'une seule valeur propre 3, elle serait semblable à 3I_n où I_n est la matrice identité, donc il existerait une matrice P inversible telle que . Mais alors ce qui n'est pas le cas à cause du coefficient 1 habilement placé dans B. Donc B n'est pas diagonalisable.

Cordialement.

[jules345]

En effet, merci de l'astuce , je viens de faire la 3e matrice ce n'est pas très difficile . Merci de votre aide en tout cas