Valeur p-adique

[brune555]

j'ai l'exercice suivant sur lequel je galere depuis un bon bout de temps, l'enoncé est le suivant : soit p un nombre premier on fixe n€N* et il faut montrer que v_p(n!)=m+v_p(m!) où m est la partie entiere en n/p

je ne vois pas comment commencer et comment faire intervenir les parties entieres!

j'ai essayé plusieurs chose sans aboutir
1) on a que v_p(n!)=somme de k=0 à n-1 v_p(n-k)
la division euclidienne de n par p s'ecrit n=pq+r avec q€N et 0<=r<n et donc n/p=q+r/p et donc que m=E(q+r/p) puis ensuite distinguer les cas avec r<=p et r>p mais sans succes

2)j'ai essayé de montrer que v_p(n!)-v_p(m!)=m soit v_p(n!/m!)=m sans resultat

3) et enfin j'ai essayé par récurrence sans aboutir


Avez-vous quelques pistes, pouvez vous m'aider?
Merci d'avance
-----

[toothpick-charlie]

bonsoir,

si la partie entière te pose un problème, tu peux te limiter au cas où p divise n puisque dans n! les facteurs au-delà du dernier multiple de p ont pour valuation 0.

[Jedoniuor]

Bonsoir,

Votre idée de récurrence n'est pas mauvaise du tout, et celle d'écrire n sous la forme n=qp+r

avec également. Remarquez que votre q, c'est en fait m.

Donc :

1) Vérifiez que la formule marche quand .

2) On suppose la formule vraie pour , on la montre pour n+1. On a n=mp+r, et si ,
la partie entière de est encore m. Comme car p ne divise pas n+1, la formule est vraie pour n+1.

Si , remarquez que , (donc le m associé à n+1 est m+1) de sorte que . Je vous laisse écrire et conclure.

Cordialement.

[brune555]

Merci beaucoup Jedoniuor pour votre aide !

[A voir en vidéo sur Futura]