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Valeur p-adique



  1. #1
    brune555

    Valeur p-adique


    ------

    j'ai l'exercice suivant sur lequel je galere depuis un bon bout de temps, l'enoncé est le suivant : soit p un nombre premier on fixe n€N* et il faut montrer que vp(n!)=m+vp(m!) où m est la partie entiere en n/p

    je ne vois pas comment commencer et comment faire intervenir les parties entieres!

    j'ai essayé plusieurs chose sans aboutir
    1) on a que vp(n!)=somme de k=0 à n-1 vp(n-k)
    la division euclidienne de n par p s'ecrit n=pq+r avec q€N et 0<=r<n et donc n/p=q+r/p et donc que m=E(q+r/p) puis ensuite distinguer les cas avec r<=p et r>p mais sans succes

    2)j'ai essayé de montrer que vp(n!)-vp(m!)=m soit vp(n!/m!)=m sans resultat

    3) et enfin j'ai essayé par récurrence sans aboutir


    Avez-vous quelques pistes, pouvez vous m'aider?
    Merci d'avance

    -----

  2. #2
    toothpick-charlie

    Re : Valeur p-adique

    bonsoir,

    si la partie entière te pose un problème, tu peux te limiter au cas où p divise n puisque dans n! les facteurs au-delà du dernier multiple de p ont pour valuation 0.

  3. #3
    Jedoniuor

    Re : Valeur p-adique

    Bonsoir,

    Votre idée de récurrence n'est pas mauvaise du tout, et celle d'écrire n sous la forme n=qp+r

    avec également. Remarquez que votre q, c'est en fait m.

    Donc :

    1) Vérifiez que la formule marche quand .

    2) On suppose la formule vraie pour , on la montre pour n+1. On a n=mp+r, et si ,
    la partie entière de est encore m. Comme car p ne divise pas n+1, la formule est vraie pour n+1.

    Si , remarquez que , (donc le m associé à n+1 est m+1) de sorte que . Je vous laisse écrire et conclure.

    Cordialement.

  4. #4
    brune555

    Re : Valeur p-adique

    Merci beaucoup Jedoniuor pour votre aide !

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