Salut à tous!!
Je suis en train de comprendre la solution de l'exercice suivant:
Montrer que l'ensemble X = { x∈ℚ : x²<2 } n'admet pas de borne supérieur dans ℚ.
Voici la solution:
On a X = { x∈ℚ : -V2 < x < V2 } et supposons que c = sup X existe dans ℚ, c∈ℚ. Considérons l'ensemble: Y = { y∈ℚ : y>V2 }
Il est clair que ∀x∈X, ∀y∈Y, on a x≤y. Montrons que c∉X et c∉Y. Supposons que c∈X, c'est à dire c<V2. Comme ℚ est archimédien (∀x∈ℚ, ∀y∈ℚ*+, ∃n∈ℕ, ny≥x), alors il existe n∈ℕ tel que 1/n < (2-c²)/(2c+1), et alors: (c + 1/n)² = c² + 2c/n + 1/n² ≤ c² + (2c+1)/n < 2
...
Mes questions sont:
1. Pourquoi il faut considérer un autre ensemble Y, n'est-il pas suffisant d'utiliser un seul ensemble X?
2. Comment sommes-nous arrivés à 1/n < (2-c²)/(2c+1) (je sais que c'est avec la méthode de Héron mais comment)?
3. Pouvons-nous simplement prouver que V2∉ℚ, alors l'ensemble X n'admet pas de borne supérieur dans ℚ?
S'il vous plaît aidez-moi, je ne sais pas quoi faire!!
Merci beaucoup pour votre temps!!
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