Q n'admet pas de borne supérieur

[invite7763d544]

Salut à tous !!
Je suis en train de comprendre la solution de l'exercice suivant:
Montrer que l'ensemble X = { x∈ℚ : x²<2 } n'admet pas de borne supérieur dans ℚ.
Voici la solution:
On a X = { x∈ℚ : -V2 < x < V2 } et supposons que c = sup X existe dans ℚ, c∈ℚ. Considérons l'ensemble: Y = { y∈ℚ : y>V2 }
Il est clair que ∀x∈X, ∀y∈Y, on a x≤y. Montrons que c∉X et c∉Y. Supposons que c∈X, c'est à dire c<V2. Comme ℚ est archimédien (∀x∈ℚ, ∀y∈ℚ*+, ∃n∈ℕ, ny≥x), alors il existe n∈ℕ tel que 1/n < (2-c²)/(2c+1), et alors: (c + 1/n)² = c² + 2c/n + 1/n² ≤ c² + (2c+1)/n < 2
...

Mes questions sont:
1. Pourquoi il faut considérer un autre ensemble Y, n'est-il pas suffisant d'utiliser un seul ensemble X?
2. Comment sommes-nous arrivés à 1/n < (2-c²)/(2c+1) (je sais que c'est avec la méthode de Héron mais comment)?
3. Pouvons-nous simplement prouver que V2∉ℚ, alors l'ensemble X n'admet pas de borne supérieur dans ℚ?

S'il vous plaît aidez-moi, je ne sais pas quoi faire !!
Merci beaucoup pour votre temps !!
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[gg0]

Bonjour.

1) Parce que le rédacteur de la réponse a choisi de le faire
2) Si tu sais, pourquoi poses-tu la question ?
3) Darko t'a répondu ici :http://www.les-mathematiques.net/pho...d.php?4,804748

Cordialement.

NB : Une preuve est un ensemble de raisonnements. Donner un bout de la preuve ne permet pas à ceux qui ne l'ont pas de savoir, donc de t'aider. Si en plus, on ne sait pas dans quel cadre cette preuve est donnée ...

[invite7763d544]

1) Pourquoi le rédacteur de la réponse a choisi de le faire? ce n'est pas qu'il voulait juste de choisir ça, vous ne pensez pas?
2) J'ai posé la question parce que je n'ai pas obtenu le même résultat.
3) Si vous avez lu la réponse de Darko attentivement vous trouverez que la preuve V2∉ℚ ne marche pas ici.

Voilà le reste de la preuve:
...
Ce qui signifie que c + 1/n ∈ X et c < c + 1/n, or ceci contredit le fait que ∀x∈X, x≤c.
Supposons maintenant que c∈Y, c'est à dire que c > V2. Il existe alors m∈ℕ* tel que 1/m < (c² - 2)/2c, et alors (c - 1/m)² = c² - 2c/m + 1/m² > c² - 2c/m > 2
Ce qui signifie que c - 1/m ∈ Y et c > c - 1/m, or ceci contredit le fait que ∀y∈Y, c≤y. Ainsi les inégalités c < V2 et c > V2 sont impossibles, donc c = V2. Ceci montre aussi l’existence de nombres irrationnels.

[gg0]

Ok, maintenant on peut répondre.

1) Parce qu'il y a besoin de montrer que c n'est pas un rationnel, c'est à dire n'est ni dans X, ni ailleurs (le ailleurs, comme c>0, c'est Y). A noter : On utilise ici l'idée qu'aucun rationnel na comme carré 2, supposée déjà prouvée.
2) Rien à voir avec Héron (*). Comme , (2-c²)/(2c+1) est strictement positif, donc son inverse est majoré par un n (R archimédien) et il sufit d'inverser l'inégalité.
3) On sait que V2∉ℚ, c'est un prérequis de cette preuve. Mais qu'est-ce qui empêche d'avoir une borne supérieure dans ℚ, différente de celle dans R ?

Cordialement.

(*) enfin, si, un peu : Le choix de cette valeur bien particulière et qui fait marcher la suite. mais c'est du "truc de calcul".

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7763d544]

Et c'est le truc de calcul qui fait tout!!
Merci beaucoup, je vois les choses un peu claire maintenant