Arithmétique

[invited9252388]

Bonjour,

comment montrer que 2^123+3^121 est divisible par 11 ?

merci d'avance !
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[Médiat]

Bonjour,

Je vous suggère d'étudier les restes dans la division par 11 des puissances successives de 2 et de 3, vous verrez apparaître très vite un résultat très intéressant et très facile à utiliser pour résoudre votre problème.

[gg0]

Petit théorème de Fermat ?

Cordialement.

[invited9252388]

Merci de vos réponses.

Désolé je n'ai pas encore vu le théorème de Fermat =s
Je vais le faire je vous dis ce que je trouve Médiat.

ps: j'ai répondu dans le post "Exercice sur l'arithmétique dans Z (PCSI)" gg0 ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited9252388]

Alors je trouve qu'il y a une sorte de boucle :

on a:

2^1=2[11]
2^2=4[11]
2^3=8[11]
|
|
2^10=1[11] et ensuite les reste sont de nouveau les mêmes (la boucle s’arrête dès la puissance 10 pour 2)

et

3^1=3[11]
3^2=9[11]
3^3=5[11]
3^4=4[11]
3^5=1[11] et ensuite comme précédemment les restes sont de nouveaux les mêmes.

Que dois je en déduire ?? La somme de deux terme divisible par 11 est elle divisible par 11 ?

[Médiat]

Vous auriez pu remarquer que puis que 123 =5*24 + 3

[invited9252388]

Ha oui désolé mais je fatigue un peu.

Donc on peut en déduire que (2^5)^24=-1[11] non ?

[invited9252388]

J'ai trouvé ! on a au final:

((3^5)^24)*3=3[11] et ((2^5)^24)*2^3=-3[11]

donc quand on somme les deux on trouve que sa vaut 0[11] donc comme le reste vaut 0 c'est divisible par 11 !

merci ! (sauf erreur de ma part)

[Médiat]

Ha oui désolé mais je fatigue un peu.

Donc on peut en déduire que (2^5)^24=-1[11] non ?

Non, n'est pas égal à -1

[invited9252388]

Ha mince ... Je ne vois pas comment faire alors...

[Médiat]

Si c'était -1, vous auriez :

((3^5)^24)*3=3[11]
((2^5)^24)*2^3=-8[11] (cette ligne est donc FAUSSE, heureusement !)

[invited9252388]

en fait il nous faudrait ((2^5)^24)*2^3=-3[11] n'est ce pas ?

[Médiat]

Et, miracle, c'est le cas, refaites le calcul !

[invited9252388]

Oui en effet sa marche !!! Merci beaucoup !!