probabilité : somme de réels

[Jess921]

Bonjour,

J'ai un exercice où je bloque. Le problème est le suivant : on tire au hasard n nombre réels (a1,a2,...an) dans l'intervalle [0;1].
1) quelle est la proba pour que Y2 variable aléatoire réelle égale à la somme des 2 premiers nombres tirés prenne des valeurs strictement inférieures à 1?
2)De même pour Yn (=somme des n nombres tirés) ?

1) je dirais que c'est la somme sur tous les a1 possibles de la proba d'avoir a2<1-a1 c'est-à-dire = mesure de lebesgue de [0,1-a1]/mesure de lebesgue de [0,1] = 1-a1 donc une proba finale = intégrale_[0,1](1-a1)da1=1/2.
Est-ce bon ?

2) Je ne vois pas comment continuer : je pense qu'il faut utiliser les densités de probabilité mais je ne vois pas comment ?

Si vous pouviez m'aider svp,

Merci d'avance
-----

[invite54165721]

prenons un tirage à trois valeurs
Ca correspond à un vecteur x1,x2,x3 tel que x1+x2+x3<1
il se situe dans le volume des nombres positifs <1 limité par le plan x1 + x2 + x3 = 0 (pyramide)
A comparer au vecteurs à composantes positives < 1 (cube)
Idem pour des n-cubes.

[Jess921]

j'ai du mal à voir l'équation de la pyramide et tout. Quelqu'un n'aurait pas une méthode sans utiliser de géométrie dans l'espace svp ?

[taladris]

Bonjour,

on tire au hasard n nombre réels (a1,a2,...an) dans l'intervalle [0;1]

Je suppose qu'au hasard signifie ici selon la loi uniforme sur [0,1] et que les tirages sont indépendants. Alors, la densité d'une somme de deux variables aléatoires indépendantes est le produit de convolution des deux densités.

Il reste seulement à calculer le produit de convolution de n variables indépendantes de loi uniforme puis la probabilité cherchée.

Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite54165721]

Il ne s'agit pas de géométrie dans l'espace mais de calculer une intégrale nuple dans R^n
Commence par l'intégrale triple

[Jess921]

Je suis d'accord pour la convolution : avec Y2 variable aléatoire reliée à a1+a2 :
j'écrirai : f_Y2(x)=intégrale_[0,1] de f(a1)f(x-a1)da1 mais après je vois pas comment faire : je pense que f(a1)=1 si a1 appartient à [0,1], 0 sinon.
Et après ? je ne vois pas comment remplacer f(x-a1)...

[gg0]

Bonsoir Jess921.

Dans ce cas, l'intégrale multiple est bien plus simple. mais si tu préfères la convolution, à toi de faire le travail, sérieusement. La densité de la variable aléatoire X_i =nombre tiré au i-ième tirage est

A toi de déterminer déjà . C'est un exercice classique.
Puis tu regarderas . Tu vas commencer à regretter l'intégrale multiple. Et il te faut généraliser ...
Si tu connais bien les distributions, dont celle de Dirac, et leur lien avec la convolution, ça se fait bien. mais à la main ...

Amuse-toi bien !

[invite54165721]

Ca se fait bien par recurence en utilisant

[Jess921]

alors j'ai fait la convolution des 2 portes c'est bon, j'essaie maintenant la double convolution !

[Jess921]

alors j'ai fait la deuxième convolution et je tombe sur la probabilité que a1+a2+a3<1 = int_[0,1]x²/2 dx = 1/(2*3)=1/6=1/3!

par contre, je ne vois pas comment je peux faire de la récurrence avec des convolutions : je suppose que c'est 1/n! et je convolue avec une fonction de Heaviside pour voir si ça marche ??? comme quand on montre une récurrence avec des suites ?

[invite54165721]

Ce lien donne directement la solution.
Je sais bien que c'est trop simple mais enfin...