Developp. de Taylor, Continuité...

[Minialoe67]

Bonjour,

j'ai plusieurs questions:

1) Le théorème de Taylor Lagrange fournit-il une condition nécessaire, suffisante ou bien nécessaire et suffisante d'existence d'un développement limité polynomial pour une fonction au voisinage d'un point?

2) quand on a un développement limité polynomial d'une fonction paire (réciproquement impaire) à un point, comment fait-on pour trouver (sans refaire tous les calculs) le développement limité polynomial à l'opposé de ce point?

3) Comment démontre-t-on facilement lors de l'étude d'une fonction qu'elle admet un développement limité polynomial en un point précis?
Mon problème: f(x)=(1+cos(x))^3/cos. A la base elle n'est pas définie en pi/2, mais on me demande de montrer qu'elle admet un dvlt polynomial limité en pi/2 à tout ordre. Comment faire?

4) Pouvez vous me rappeler ce qu'est un prolongement continu? comment démontrer qu'une fonction admet un prolongement continu en un point?

Merci d'avance
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[invite33c0645d]

Bonjour,

1) J'ai toujours du mal avec les "milliers" de formulations et noms différentes pour Taylor, Lagrange, Young.
L'idée est de dire qu'une application s'écrit comme un polynôme plus une petite fonction négligeable. Chaque manière de quantifier le négligeable porte un nom différent Ce théorème fournit à mon sens une condition suffisante à l'existence d'un DL. En effet il suffit que f soit de classe Ck en un point pour que cette application admette un DL en ce point.

La réciproque est malheureusement (ou heureusement quand on s'y connait bien) fausse. Je me doute bien que les développements asymptotiques ne plairont pas comme contre-exemple. Je crois qu'il suffit de s'intéresser à une fonction du type . J'y réfléchi dans la soirée et je reviens poster.

JE reviens dans une demi heure quelque chose comme cela et j'édite mon message pour poursuivre ma réponse.

[Minialoe67]

oui merci.

[invite33c0645d]

Suite de ma réponse car je ne peux plus éditer

2) Voilà comment je peux répondre simplement. Je suppose qu'on a une application dont on calcul le développement de Taylor avec la formule de Taylor (ie des hypothèses de classe ..). Si tu sais calculer le développement d'une application f paire en un point a. Alors il suffit de remarquer que . Auquel cas, si tu cherches le développement limité de Taylor au point -a, il te suffit de lire les coefficients du développement de f en a pour en déduire (à plus ou moins 1 près) le dl en -a de f

3)Dans ce type de fonction je propose souvent de faire une étude du logarithme népérien si cela a bien un sens. Dis moi où tu bloques et j'essayerai de t'aider plus précisément.

4)Prolongement continue. C'est dans ton cours! L'idée est la suivante: sin(x)/x n'est pas définie en 0. Pour autant quand x tend vers 0 sin(x)/x tend vers 1 donc (physicien) on veut dire que sin(0)/0 = 1. D'où l'idée de poser la fonction f qui vaut sin(x)/x sur R* et 1 en 0. On peut remarquer que f est alors continue. On dit que f est un prolongement continu de sin(x)/x en 0. On peut après s'intéressé au cas C1 ? sin(x)/x est C infinie sur R*+ on peut prolonger par continuité en une application que j'ai appelée f. Peut-on dire que f est C1 ? (Dans ce cas on dit qu'on a prolongé sin(x)/x en une application C1), ...

Je n'oublie pas de réfléchir à mon exemple de dl. Je reviens dans la soirée comme promis!

[A voir en vidéo sur Futura]

[Minialoe67]

2) la fonction est de classe c infini sur R différent de (pi/2 +kpi ; (2k+1)pi). D'habitude pour prouver que la fonction admet un dl limité en un point, il faut que f soit de classe C infini en ce point. Ce qui n'est pas le cas pour pi/2. voilà le problème!

[invite33c0645d]

Remarque: Le développement limité n'impose à priori pas du tout un caractère C infini. Tu peux faire au plus un développement limité à l'ordre k où k représente l'indice de la classe de régularité à laquelle elle appartient. Je te conseil de revoir la démonstration!

Pour l'exemple comme promis : Cette application est clairement définie sur . Je te laisse le soin de comprendre que c'est un "petit o" de x^2. f admet donc un développement limité à l'ordre 2. Pour autant tu ne peux même pas prolonger f en une application continument dérivable. Donc elle n'admet pas de développement de Taylor à l'ordre 1 car sinon f'(0) = 0.

[Minialoe67]

Nouvelles questions:

5) D'après les théorèmes de mon cours, je suis arrivée à la conclusion que:
si f est dérivable au point x₀ (c'est-à-dire qu'il existe lim_h=>0[f(x₀+h)-f(x₀)]/h), alors f est continue en ce point.
Est-ce que cette limite doit être finie? peut-elle être infinie?

6) Souvent je dois étudier des fonctions et donner leur partie principale aux bornes du domaine. On me demande souvent de conclure ensuite. Que peut-on conclure? (et comment?) (donnez moi des exemples de ccl)

[invite33c0645d]

5) De quelle limite parles-tu ? Celle de la dérivée, de f ? A moins de connaître la topologie de R barre, je crains qu'il soit compliqué de considérer des fonctions continues qui sont autorisée à prendre des valeurs infinies Mais sinon le fait simplement que f soit dérivable en un point t'assure le fait qu'en ce même point elle est continue et que donc la valeur est finie.

6) Je ne comprend pas. Souvent donc tu pourrais me donner des exemples ? Tu parles de développement asymptotiques ? Par exemple: donnez un développement limité de 1/x en 0 à l'ordre 6 ? (il est alors pratique de préciser ce que j'appelle le degré de précision).

[Minialoe67]

5) oui de la dérivée.

6) exemples:

f(x)=(1+cosx)^3/cosx
expliciter les 2 1ers temps du dvlt asymptotique de f au point pi. Conclure.
au pt pi, f(x)=8/(x-pi)⁶ *[1-3(x-pi)²ln|x-pi| + o(...). Que conclure?

f(x)=√(x4-x2)*ln|x/x+1|
donner les parties principales aux bornes du domaine (]-∞;-1[u[1;+∞[). Conclure.
En +/-∞ f=-x
En 1+, f=-√(2(x-1))*ln2
En 1-, f=-√(-2(x-1))*ln|x+1|

(pas besoin de vérifier le dvlt et les parties principales, elles proviennent d'un corrigé de notre prof, mais il n'a pas expliqué quoi conclure.)

[invite33c0645d]

Tout dépend du contexte dans lequel tu te places. Tu peux conclure que DL n'implique pas dérivable en ce point. Tu peux conclure à un équivalent si les petits o sont "bons". Tu peux aussi conclure que le développement de f(x)^2 aboutit à quelque chose de positif.

Cette question me paraît sans grand sens comme ça. Désolé de ne pouvoir aider.