Nombre complexe, valeur de i?

[EspritTordu]

Bonjour,

Soit z=a+ib, un nombre complexe. On peut le représenter graphiquement (http://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexe). On peut donc appliquer le théorème de Pythagore tel que





où a et b sont les coordonnées du graphique ou bien a est la partie réelle et b, et partie imaginaire.

Depuis (1) :


d'où des racines du polynôme du second degré (dans la validité de celui-ci) :


Si on considère z comme positif, alors on garde :




Est-ce que cela égale i^2=-1? Peut-on jongler avec le nombre réel de la partie imaginaire aussi facilement?


Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonjour,

L'égalité (1) est fausse. Si tu appliques le théorème de Pythagore, cela donne où est le module d'un nombre complexe.

[Amanuensis]

Et même , pour se rapprocher encore un peu plus du théorème de pythagore.

La confusion est entre le produit "arithmétique", (a+ib)(c+id) = ac-bd + i(ad+bc), et le produit scalaire (a+ib).(c+id) = ac+bd, le théorème de pythagore implique le second, pas le premier.

[EspritTordu]

Bonjour,

L'égalité (1) est fausse. Si tu appliques le théorème de Pythagore, cela donne où est le module d'un nombre complexe.

Et même , pour se rapprocher encore un peu plus du théorème de pythagore.

La confusion est entre le produit "arithmétique", (a+ib)(c+id) = ac-bd + i(ad+bc), et le produit scalaire (a+ib).(c+id) = ac+bd, le théorème de pythagore implique le second, pas le premier.

J'ai du mal à comprendre à la différence avec des modules. Comment se développe |a+ib|^2 alors si ce n'est pas comme le calcul de Newton (a+b)^2?

Si on fait seulement un approche graphique (selon le graphique avec un vecteur bleu dans le lien wikipédia précédent) et pythagore,

on a

d'où

or z est dit aussi tel que z=a+ib :



donc n'est-ce pas aussi arithmétiquement :



non?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

J'ai du mal à comprendre à la différence avec des modules. Comment se développe |a+ib|^2 alors si ce n'est pas comme le calcul de Newton (a+b)^2?

Le produit scalaire est le produit (z, z') -> zz'*, où l'étoile indique le conjugué.

On a donc |a+ib|² = (a+ib)(a-ib), ce qu'on développe comme le calcul de Newton, soit a²+iab-iab-i²b² = a²+b²

[breukin]

Autrement dit, le théorème de Pythagore ne donne pas mais , où est la distance (nombre réel) entre et (qu'on appelle module). Et on a .
Quant à , il vaut , et rien d'autre.

[stefjm]

Quant à , il vaut , et rien d'autre.

[gg0]

Bonjour EspritTordu.

Comment se développe |a+ib|^2 alors si ce n'est pas comme le calcul de Newton (a+b)^2?

mais tu as le même problème pour les réels :
"Comment se développe |a+b|^2 alors si ce n'est pas comme le calcul de Newton (a+b)^2?"
Comme |a+b| n'est pas une somme, on ne peut pas lui appliquer l'identité remarquable, un point c'est tout !!

Cordialement.

[EspritTordu]

Avec i, c'est toujours la même chose on tourne autour du pot pour sa définition. C'est une tautologie, comme la force et le référentiel Galiléen selon Poincaré (Par. "Critique par Henri Poincaré" :http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9..._galil%C3%A9en)

Bonjour EspritTordu.


mais tu as le même problème pour les réels :
"Comment se développe |a+b|^2 alors si ce n'est pas comme le calcul de Newton (a+b)^2?"
Comme |a+b| n'est pas une somme, on ne peut pas lui appliquer l'identité remarquable, un point c'est tout !!

Cordialement.

Pour moi, il s'agit pourtant d'une somme dont on prend la valeur positive seulement, non?

Autrement dit, le théorème de Pythagore ne donne pas mais , où est la distance (nombre réel) entre et (qu'on appelle module). Et on a .
Quant à , il vaut , et rien d'autre.

Je suis perdu : d, la distance réelle et graphique est identique à z ou non?

[breukin]

z est un nombre complexe, ou un vecteur, d est son module, ou sa norme.
C est un espace vectoriel de dimension 2, dont une base orthonormée est composée des vecteurs (1,0) appelé "1" et (0,1) appelé "i".
Vu comme ça, vous comprenez la différence entre le vecteur et sa norme ?
z = (a,b) = a.1+b.i

[gg0]

EspritTordu,

"Pour moi, il s'agit pourtant d'une somme dont on prend la valeur positive seulement, non?".

oui, mais ce n'est pas la somme qui est au carré. Et la "partie positive", c'est flou !! Quelle est la partie positive de a-b ????

En fait, tu joues avec des mots, tu ne penses pas. Dommage !

Cordialement.

[stefjm]

Avec i, c'est toujours la même chose on tourne autour du pot pour sa définition. C'est une tautologie, comme la force et le référentiel Galiléen selon Poincaré (Par. "Critique par Henri Poincaré" :http://fr.wikipedia.org/wiki/R%C3%A9..._galil%C3%A9en)

Je ne comprend pas où vous voyez une tautologie avec la définition de .
Et si c'est en rapport avec ma blague, c'était juste une blague.

Comme définition de , j'aime bien : un nombre qui exposé par lui même vaut

[breukin]

Comme définition de , j'aime bien : un nombre qui exposé par lui même vaut

Sauf que l'élévation d'un nombre complexe à une puissance complexe n'est pas univoque.
Car on a tout aussi bien

[gg0]

Bonjour.

En fait, i est toujours parfaitement défini dans toutes les constructions du corps des complexes. Donc il n'y a pas de problème, pas de cercle vicieux. Sauf évidemment si on définit sans référence à d'autres ensembles de nombres (ou de polynômes, ou de points, ou ..). Dans ce cas, i est une donnée primitive de la construction, ou bien est défini par référence aux données primitives de la construction.
Dire "on tourne autour du pot pour sa définition" c'est dire "je n'ai jamais étudié comment on définit , mais je parle".
Alors que dans la construction de par les polynômes, i est simplement la classe de x modulo x²+1. Comme x²+1 est la classe de 0, en terme de classes d'équivalence, x²=-1. mais on appelle cette classe de x par la mettre i, par habitude.
Dans la construction par les couples de réels, i est le couple (0,1). Simplement.

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour

En fait, i est toujours parfaitement défini dans toutes les constructions du corps des complexes.

Si on définit le corps des complexes comme le corps algébriquement clos, de caractéristique 0, de cardinal , il est possible de définir l'ensemble des éléments solutions de , mais on ne sait pas différencier et .

Bien sûr, ce n'est pas une construction au sens strict, mais une définition.

[gg0]

Tout à fait d'accord.

Et c'est pourquoi j'avais parlé de définir " sans référence à d'autres ensembles de nombres (ou de polynômes, ou de points, ou ..)".
Dans ton cas, comme i et -i ne se distinguent pas (*), dire "le" pose un problème, sauf s'il est entendu qu'on travaille à un isomorphisme de corps près, ce qui est bien évidemment le cas quand on dit "le".

Cordialement.

(*) ce qui ne me gêne pas

[EspritTordu]

Merci pour ces explications.

Je ne comprend pas où vous voyez une tautologie avec la définition de .
Et si c'est en rapport avec ma blague, c'était juste une blague.

Comme définition de , j'aime bien : un nombre qui exposé par lui même vaut

Pourquoi l'exponentielle n'a-t-elle plus le i en exposant?

z est un nombre complexe, ou un vecteur, d est son module, ou sa norme.
C est un espace vectoriel de dimension 2, dont une base orthonormée est composée des vecteurs (1,0) appelé "1" et (0,1) appelé "i".
Vu comme ça, vous comprenez la différence entre le vecteur et sa norme ?
z = (a,b) = a.1+b.i

Ainsi, si on ne peut pas donner de dimension à i, on ne peut pas donc imager la norme réellement. Le graphisme est artificiel et n'illustre pas la notion (ici restreinte au sens arithmétique) de norme? C'est Cela? Avec les complexe on se doit de différencier la norme arithmétique de la distance de la norme d'un vecteur représentatif?

EspritTordu,

"Pour moi, il s'agit pourtant d'une somme dont on prend la valeur positive seulement, non?".

oui, mais ce n'est pas la somme qui est au carré. Et la "partie positive", c'est flou !! Quelle est la partie positive de a-b ????

En fait, tu joues avec des mots, tu ne penses pas. Dommage !

Cordialement.

Je pensais aux résultats positifs après les calculs de l'identité remarquables, peut être ce n'est pas judicieux d'évaluer l'aspect positif seulement après coup en fait...


J'aime mieux la définition pour i comme résultat de X^2+1=0 personnellement. Mais reste que i est très énigmatique. En fait (http://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9_imaginaire), i me semble toujours une rustine (comme les complexes peut-être) pour résoudre et maintenir la cohérence de l'arithmétique face à il y a un certain temps. Pour lever l'ambiguïté, on crée i, on l'identifie, mais fondamentalement.... on le définit par ses conséquences, jamais par sa nature. Je reste perplexe à mon niveau de math!

[Médiat]

on le définit par ses conséquences, jamais par sa nature. Je reste perplexe à mon niveau de math!

On le définit par ses propriétés jamais par sa nature ; c'est le cas chaque fois que l'on définit une théorie mathématique

[Amanuensis]

Pourquoi l'exponentielle n'a-t-elle plus le i en exposant?

Stejm parle de la "valeur" de , ainsi que de l'équation

[EspritTordu]

Je suis retourné la cerise sur la cerise : je ne me donne plus de sens!

On le définit par ses propriétés jamais par sa nature ; c'est le cas chaque fois que l'on définit une théorie mathématique

Oui.... Je vois.

[stefjm]

J'aime mieux la définition pour i comme résultat de X^2+1=0 personnellement. Mais reste que i est très énigmatique. En fait (http://fr.wikipedia.org/wiki/Unit%C3%A9_imaginaire), i me semble toujours une rustine (comme les complexes peut-être) pour résoudre et maintenir la cohérence de l'arithmétique face à il y a un certain temps. Pour lever l'ambiguïté, on crée i, on l'identifie, mais fondamentalement.... on le définit par ses conséquences, jamais par sa nature. Je reste perplexe à mon niveau de math!

Vouloir une solution pour X^2+1=0 est du même acabit que vouloir une solution de X+1=0.
Dans le premier cas, on trouve i et -i qui n'appartiennent pas à R alors que les coefficients du polynôme (1,0,1) appartiennent à R
Dans le second, on trouve -1 qui n'appartient pas à N+ alors que les coeff du polynome (1,1) appartiennent à N.

On solutionne aussi le problème avec les racines pour X^2-2=0. (racine de 2 n'appartient pas à Q alors que les coeff appartiennent à Q)

[invite76543456789]

Bonjour, c'est quand même pas aussi simple que ça (enfin pas loin), il faut quand même pouvoir légitimer le fait de rajouter formellement une solution de T^2+1=0 a R.
Par exemple on ne peut rajouter a R une solution du système X=0 et X=1, pourquoi le pourrait on pour X^2=-1, il faut bien le justifier.