analyse complexe : formule des résidus

[invite1d044595]

Bonjour à tous,

Je souhaiterais que quelqu'un puisse me confirmer, ou non, ce qui suit !

Il s'agit de résoudre une intégrale dont la fonction est f(z) = z²/(z²+1) sur un contour fermé, lequel est un carré ( par exemple de [ -2, 2 ] sur [ -2, 2 ] dont le centre est donc situé sur l'origine ). En utilisant une conséquence de la propriété fondamentale des fonctions entières C dérivables, est ce que je peux prendre un cercle de rayon 3 comme autre contour qui entoure toutes les singularités ( (+-) i ) ?? Dans ce cas, je cherche les résidus en +i et -i :

R [f] (i) = z² / 2z = -1/2i ( car pôle simple )
R [f] (-i) = 1/2i ( pôle simple )

Soit I pour l'intégrale, I = i2pi x Somme des R[f] ( Z0 ) = ( -1/2i + 1/2i ) x i2pi = 0

Est-ce que je peux faire cela ?

Merci pour les éventuelles réponses !
-----

[Armen92]

Bonjour,
Bien sûr qu'on peut le faire puisque le carré peut être déformé continûment en le cercle sans passer par aucune singularité de la fonction intégrée.
N'importe quelle autre courbe fermée conviendrait tout autant.
Se souvenir que pour une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe, le chemin d'intégration est un élastique et que les singularités (ici des pôles) sont des clous à moitié enfoncés dans une planche de bois. Cauchy nous a appris que l'on peut tirer sur l'élastique de mille façons à condition de le laisser en contact avec la planche sans changer la valeur de l'intégrale.