Espace fonctionel - Série de fonction et norme

[invite57016fa8]

Bonjour,

Mon problème est le suivant :

Soit E un espace de fonctions (définies sur R et à valeurs, par exemple, complexes) muni d'une norme N. L'espace n'est PAS suposé complet.
Soient Fn une suite d'éléments de E telle que

1) La série des Fn converge normalement sur R vers une fonction F, élément de E.
2) La série des normes N(Fn) est convergente.

A-t-on l'inégalité N(F) <= Sum(N(Fn)) ?


Dans les faits E est un sous-espace de l'ensemble des fonctions 2*Pi périodiques et indéfiniment dérivables, mais je ne sais pas si cette hypothèse est utile.

Cette question m'est inspiré par les questions 4.3 et 4.4 de la deuxième partie d'ULM-Cachan 2004. Le correcteur (sur le site de l'UPS) parle d'une "...généralisation de l'inégalité triangulaire...", terme qui m'echappe totalement.

Merci d'avance pour ceux qui ont des idées (ou qui veulent se donner la peine de regarder directement l'énoncé de l'épreuve..) !

Cordialement
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[Seirios]

Bonsoir,

L'inégalité me semble être une conséquence la continuité de la norme et de l'inégalité triangulaire : .

[invite57016fa8]

Bonjour,

Non justement on ne peut pas évoquer la continuité de la norme...

J'ai du mal m'exprimer mais la convergence normale a lieu pour la norme infinie (valeur absolue), donc à priori la somme des Fn ne converge pas dans E (au sens de N).

je reprends : la somme des Fn converge vers F pour la norme infinie (il y a même convergence normale pour cette norme) et la série des N(Fn) converge dans R et E n'est pas supposé complet ; je ne comprends pas le passage à la limite dans le membre de gauche..