Anneau commutatif intègre

[invite9faa6c41]

Bonjour à tous, je suis actuellement étudiant de deuxième année au bac. en mathématiques. J'ai récemment louer à la bibliothèque de la fac. le livre "Anneau" De Jean-Fresnel. Ma question concerne le point suivant qui est utilisé par J. Fresnel lors d'une de ses preuves. La question est :
Soit A un anneau commutatif intègre.

Soit . Soit la surjection canonique (où ). Soit , la suite des parties de A définie par , si n = 0, et , si n > 0. Alors on a que .

Mon problème concernant cet énoncé est que selon ce que j'ai compris du livre jusqu'à présent, ne peut pas être inclus dans . Pouvez-vous trouver la faille dans mon raisonnement et me l'expliquer?

Or, on a que . Donc si , on doit avoir que , d'où . Contradiction, car A est intègre (par définition de Fresnel, A intègre alors A non réduit à l'élément neutre pour la "somme").

J'espère que ma question est clair, ne vous gènez pas à demander des clarifications. Merci de votre temps.

Mahube
-----

[invite76543456789]

Salut,
Ton raisonnement est correct, mais tu peux rajouter 0 dans toutes les parties A_n et ca fonctionne. (ou alors regarde ton inclusion uniquement a partir de n=1, le A1 est composé des inversibles de l'anneau A).

[invite9faa6c41]

Merci de la rapidité de ta réponse. J'avais considéré la possibilité de ne montrer le résultat que pour n>1, mais cela ne permettait pas de démontrer le résultat voulu (résultat qui se sert de l'énoncé que j'ai mentionné dans mon premier message), puisque 0 devait faire parti de tous les A_n. Toutefois, rajouter 0 dans les A_n semble règler le problème! Un gros merci.

Mahube