Bonsoir, voilà, on me donne
f: IR3 ---------> IR2
(x,y,z) --------> f(x,y,z)=(x+y,y+z)
et g : IR² --------> IR3
(x;y) -------> g(x,y)=(x,y,x+y)
J'ai démontré que f et g sont des applications linéaires
pour la 2éme question on me demande de déterminer une base de kerf et de Imf.
et je ne sais pas comment procéder
est-ce qu'il faut que je détermine kerf et imf d'abord ?
genre pour kerf c'est {(x,-x,x) de IR3 } ?
Oui, c'est ça.
Et tu as une base quasi évidente ... puisque c'est une droite vectorielle.
Cordialement
(1,-1,1) ?
ça, c'est un vecteur. pour une base, il faut un petit quelque chose de plus, mais c'est vrai qu'il est non nul (libre) et engendre la droite vectorielle.
Pour Im f c'est vraiment très simple.
Bonne continuation.
j'ai fait (x,-x,x)=x(1,-1,1) donc (1,-1,1) est une base de kerf.
c'est juste ?
très simple ? ahhhhhhh flûteeeee ! moi j'ai toujours eu un problème avec Imf. De par sa définition je sais que Imf ={ V appartenant à E2 / il existe un U de E1 qui vérifie V=f(u)}
avec f appartient à L(E1,E2)
mais comment le retrouver dans un exo ?
Bonjour, pour im f, il est engendré par les images de tes vecteur de base. Par exemple im f ici est engendré par f(1,0,0), f(0,1,0) et f(0,0,1)
Bonjour.
"(1,-1,1) est une base de kerf" n'est pas juste, mais "{(1,-1,1)} est une base de kerf" est correct : Une base est un ensemble de vecteurs, ou, le plus souvent une famille de vecteurs. Dans le deuxième cas, on dira "((1,-1,1)) est une base de kerf" (famille - ou suite- à un seul élément).
Pour Im(f), ici tu peux te contenter de regarder quels sont les vecteurs de R² obtenus en faisant varier les coordonnées x, y et z. Il est facile de voir que c'est ... tous !
Cordialement.
tu peux ecrire que (x+y;y+z)=x(1;0)+y(1;1)+z(0;1) et que remarque tu pour (1;1)?
@gg0 donc pour Imf c'est IR2 ?
@pallas pour (1,1) ? je ne vois pas, peux tu m’éclairer stp
(1;1)=(1;0)+(0;1)
ah oui (1,1) s’écrit comme combinaison linéaire de (0,1) et (1,0) mais désolé je ne vois toujours pas ce que je peux tirer de cette info ^^
doc tu ecris simplement que (x+y;y+z))=( x+y)(1;0) +(y+z)(0;1) donc tu connai deux vecteurs generateurs de im f sont is independants?
oui, ces deux vecteurs sont linéairement indépendants
Alternativement, puisque tu sais que f est une application linéaire dedans
Cordialement
comment a-tu déduis que la dimension du noyau de f est de dimension 2 ?
Comme écrit précédemment, c'est le théorème du rang: Théorème du rang (wikipedia)
Si tu ne le connais pas, tu le découvriras bientôt: c'est un théorème incontournable de tout cours d'algèbre linéaire.
Donc, d’après ce que j'ai lu : Rang f + dim kerf = dim (espace de départ )
ce qui veux dire, dans ce cas, que la dimension de l'espace de départ est 4 ( vue que rg f c'est 2 et dim kerf c'est aussi 2 )
mais l'espace de départ c'est IR3, donc sa dimension c'est 3
Au temps pour moi, j'aurais du écrire: "la dimension du noyau est 1". Faute de frappe désolé :/
c'est pas grave. merci à tous pour l'aide.
