Exercices sur la différentiabilité

[invitee791e02a]

Bonsoir,

Soit f : R->R^3
t->(sin(t)/t, exp(2t), tln(|t|))

Dans un premier temps on me demande à quoi doit être égale f(0) pour que f soit continue en 0 ?. En supposant cette condition réalisée l'application f est elle différentiable en 0 ?

Pour la première question j'ai dit que f(0) doit être égale à (1, 1, 0) mais après je ne vois pas trop comment faire ?

Je vous remercie de votre aide.
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[gg0]

Bonsoir.

Quelle est la définition de "f est différentiable en 0" ? Ou quelles propriétés simplificatrice connais-tu ?

Cordialement.

[invitee791e02a]

Merci de votre remarque,

alors je sais que si une fonction f est différentiable en a alors f est continue en a, et que f est différentiable en a si il existe une application l linéaire telle que f(a+h)=f(a)+l(h)+o(||h||) mais comment me servir de ça ?

[gg0]

Tu n'as rien sur les composantes ? Alors applique la définition; tu peux étudier f(0+h)-f(0) et en chercher la partie linéaire.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee791e02a]

En fait je pense savoir ce que tu veux dire, il faut que je montre que chaque composante est différentiable en 0 ? donc écrire pour i variant de 1 à 3 fi(0+h)-f(0) ?

[gg0]

En effet, une application de dans est différentiable si chacune de ses composanteds est dérivable. En utilisant la définition "différentielle" de la dérivée :
on fait apparaître la partie linéaire.

Cordialement.