Notion de faimille libres, génératrices et de bases en dimension infinie

[invite50baf54d]

Bonjour,

Je me pose quelques questions: Serait-il possible de parler de bases en dimension infinie (que l'on pourrait monter par récurrence?)?
Si non peut-on trouver des familles libres ou bien génératrices en dimension infinie?

Cordialement,
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[invite76543456789]

Bonjour,
Oui c'est tout à fait possible de parler de base en dimension inifinie, en fait tout espace vectoriel admet une base, dimension finie ou pas.

[Médiat]

J'ajoute un exemple très simple : IR[X], l'ensemble des polynômes sur IR à une indéterminée, je vous laisse imaginer une base.

J'ajoute aussi que toutes les bases ont le même cardinal.

[invite50baf54d]

Si vous le dites, cependant je n'ai, dans mon cours, que l'existence de base en dimension finie.
Pourriez-vous me donner un exemple, s'il vous plaît?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite50baf54d]

Merci beaucoup!

[invite69d38f86]

La démonstration si j'ai bonne mémoire fait appel à l'axiome du choix.

[invite50baf54d]

C'est donc tout à fais normal que je n'ai pas ce résultat dans mon cours de L2 (car l'axiome du choix, je n'en ai jamais entendu parlé)

[Seirios]

Plus précisément, on utilise le lemme de Zorn, qui est équivalent à l'axiome du choix. En fait, il me semble même que l'axiome du choix est équivalent à l'existence d'une base pour tout espace vectoriel.

[invitea0db811c]

Bonjour,

Pour se faire une idée des conséquences de l'existence de base en dimension quelconque, on peut regarder R vu comme un Q espace vectoriel.
En effet si il existe une base de R comme Q-ev, on peut construire un sous ensemble de R qui n'est pas mesurable (c'est sur cette notion de non mesurabilité qu’apparaît le paradoxe de banach-tarski, qui est un peu dérangeant pour l'intuition ).