tribu et cardinalité

[chacal66]

bonjour, voila j'ai du mal à comprendre un exo
L’objectif est de montrer que tout tribu est soit finie soit non dénombrable. Soit une tribu sur un ensemble Y. Considérons la relation d’équivalence ~ sur Y
telle que x~y si et seulement si pour tout A dans , ). On appelle les classes d’équivalence les atomes de
a). Pour un , on note C(x) la classe d’équivalence de x (l’atome qui contient x). Montrer que

b). Supposons que l’ensemble des atomes de est fini. Montrer que est finie.

Pour la première j'ai montré l'inclusion de C(x) dans l'élément de droite mais je ne sais pas comment m'y prendre dans l'autre sens.. et pour b je n'ai aucune idée de la méthode
-----

[toothpick-charlie]

bonjour, c'est quoi l'application 1I_A ?

[Seirios]

Bonjour,

Pour la a), tu peux supposer par l'absurde qu'il existe et tels que et ; dans ce cas, si tu prends un contenant , alors contient toujours mais ne contient plus , ce qui est contradictoire.

[Seirios]

bonjour, c'est quoi l'application 1I_A ?

Ce doit être la fonction indicatrice de A.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Pour la b), tu peux remarquer que si et , alors . Par conséquent, tu peux voir comme un ensemble de parties de l'ensemble des atomes (qui est fini puisqu'il n'y a un qu'un nombre fini d'atomes).

[chacal66]

bonjour, c'est quoi l'application 1I_A ?

c'est bien la fonction indicatrice de A je savais pas comment l'écrire

[Médiat]

c'est bien la fonction indicatrice de A je savais pas comment l'écrire

Bonjour,

ou plus usuellement en théorie des ensembles

[Seirios]

Je pense qu'il voulait plutôt utiliser la notation .

[chacal66]

Bonjour,

Pour la a), tu peux supposer par l'absurde qu'il existe et tels que et ; dans ce cas, si tu prends un contenant , alors contient toujours mais ne contient plus , ce qui est contradictoire.

j'ai compris le b) mais pour celui la, en fait C(x) c'est un atome mais les A qui sont dans l'intersection pas forcement si?

[Seirios]

Non, les éléments de l'intersection n'ont aucune raison d'être des atomes, mais je ne vois pas vraiment le rapport avec ce que j'ai écrit... L'idée est de montrer que pour tout , si, et seulement si, (ie. ). L'implication est immédiate et pour la réciproque je te propose ce petit raisonnement par l'absurde.

[chacal66]

J'ai compris c'est bon, par contre après avec A et B sont deux atomes différents de j'ai montré qu'il y a X dans tel que A est dans X et B dans .
Mais après je dois supposer que l'ensemble des atomes de est infini. Montrer alors que est non dénombrable.
Je dois m'aider d'une suite d'atomes distincts et avec la question précédente construire une injection de dans
Je n'arrive pas à sortir cette injection donc si vous avez des idées...

[toothpick-charlie]

si tu as une suite infinie d'atomes, tu peux considérer les ensembles constitués d'une réunion quelconque d'atomes. Un tel ensemble peut être défini par une application h de N dans {0,1} (h(i)= 1 j'inclus l'atome i, h(i)=0 je l'exclus). comme une tribu est stable par union quelconque, ces ensembles sont dans la tribu.

[chacal66]

c'est pas très clair, Si on note H={x\ x soit un atome de }
on prend une fonction tel qu'on ait quelque chose qui aille de (H)->-> ?
après j'ai pas compris ce que tu faisais tu va de N dans {0,1} mais je veux allez de {0,1} dans ma tribu...

[Seirios]

si tu as une suite infinie d'atomes, tu peux considérer les ensembles constitués d'une réunion quelconque d'atomes. Un tel ensemble peut être défini par une application h de N dans {0,1} (h(i)= 1 j'inclus l'atome i, h(i)=0 je l'exclus). comme une tribu est stable par union quelconque, ces ensembles sont dans la tribu.

Une tribu n'est stable que par union dénombrable. Cela dit, on peut raisonner par l'absurde et supposer que est dénombrable ; alors les atomes sont des éléments de (une tribu étant stable par intersection dénombrable), et les unions disjointes d'atomes d'une partie dénombrable d'atomes préalablement fixée forment un nombre indénombrable d'éléments distincts de , ce qui est contradictoire.

Il doit néanmoins y avoir un argument plus sympathique.

[toothpick-charlie]

oui j'ai eu tort d'écrire qu'une tribu était stable par union quelconque, mais la démonstration est valide : j'ai suposé qu'il existait une suite infinie d'atomes, l'idée est de montrer qu'alors on peut construire une infinité non dénombrable d'éléments de la tribu. Il suffit de considérer toutes les réunions d'une parte des atomes de cette suite, cet ensemble est isomorphe à l'ensemble des parties de N.

[Seirios]

Mais dans ce cas tu supposes que les atomes sont des éléments de , non ?

[chacal66]

ce que j'ai fais mais je sais pas si c'est juste c'est:
=
Après je prend des applications telles que; donc qui à B-> 1 si est dans B, 0 sinon ->

Si est infinie alors est non dénombrable.

[Seirios]

Comment sais-tu que ?

[chacal66]

je sais pas mais si B y est tous les éléments de B y sont non? sinon je vois pas comment construire une injection de {0,1}^N dans

[Seirios]

je sais pas mais si B y est tous les éléments de B y sont non?

Et alors ? Contenir un élément d'une tribu n'implique pas l'appartenance à la tribu.

sinon je vois pas comment construire une injection de {0,1}^N dans

Dans mon message #14, je t'ai proposé un raisonnement par l'absurde.

[chacal66]

oui oui j'ai vu c'est que j'essayai de faire comme on me demande dans l'énoncé avec cette injection, le prof nous a dis qu'il voulait nous voir appliquer cette manière..

[toothpick-charlie]

Mais dans ce cas tu supposes que les atomes sont des éléments de , non ?

aaaah oui, j'étais totalement à côté de la plaque. Et je ne vois pas comment réparer...

[Seirios]

D'abord, si et sont tels que , alors il existe tel que et . Plus généralement, si l'on prend une famille de points dénombrable , alors pour tout , il existe contenant mais pas ; en posant , on trouve un élément de contenant mais aucun pour . De la même manière, donnons-nous contenant mais aucun pour .

On peut alors considérer la fonction définie sur par où ssi . On montre facilement que est une injection de dans .

[Seirios]

Une autre manière de voir les choses est d'utiliser la relation d'équivalence ssi ; on remarque au passage que pour , ssi . On peut alors se placer sur et considérer la tribu image , où est la projection canonique ; ce qui est remarquable, c'est que les singletons sont dans , que le cardinal de correspond au nombre d'atomes de et que et sont en bijection. Maintenant, dire que contient une infinité d'atomes permet de dire que l'ensemble des parties d'une famille dénombrable de définit des éléments distincts de , et donc (et a fortiori ) est indénombrable.

[chacal66]

J'ai à peu prêt compris merci, j'aurai juste une dernière question si on a A et B deux atomes de la tribu avec A différent de B je dois montrer qu'il existe un X dans la tribu tel que A soit dans X et B soit dans son complémentaire. Je pensai l'avoir fais mais j'ai supposé que les atomes étaient dans la tribu donc c'est faux..

[Seirios]

Soient deux atomes et avec ; plus précisément, on a (deux atomes sont soit égaux soit disjoints). En particulier, donc il existe tel que mais (ou encore ). On en déduit que et .

[chacal66]

D'abord, si et sont tels que , alors il existe tel que et . Plus généralement, si l'on prend une famille de points dénombrable , alors pour tout , il existe contenant mais pas ; en posant , on trouve un élément de contenant mais aucun pour . De la même manière, donnons-nous contenant mais aucun pour .

On peut alors considérer la fonction définie sur par où ssi . On montre facilement que est une injection de dans .

J'aurai juste une dernière question sur ce sujet, si on prend l'intersection de tous les Ai de la tribu contenant x0 on crée C(x0) donc c'est pas obligatoirement dans la tribu si?

[Seirios]

A priori, on aura ; l'intersection intervenant dans n'a aucune raison d'être dénombrable, donc on ne peut pas dire que soit un élément de ; par contre, l'intersection intervenant dans est bien dénombrable, donc (une tribu est stable par intersection dénombrable).

[chacal66]

ok mais du coup on utilise pas les atomes dans la démo? Donc le fait que l'ensemble des atomes soit infini n'intervient pas si?

[Seirios]

Le fait que deux atomes distincts peuvent être séparés par un élément de la tribu est simplement une conséquence de la définition de ce qu'est un atome, qu'il y en ait un nombre fini ou infini n'a aucune incidence.