Sur les matrices symétriques définies positives

[invited7e4cd6b]

Bonsoir F.S.,

J'aimerais savoir comment prouver que pour une matrice symétrique définie positive:
tel que

On sait que les termes diagonaux sont strictement positifs, mais je ne vois pas comment prouver cette inégalité. Il me faut une piste.

Merci d'avance.
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[invitef3414c56]

Bonjour,

Testez la matrice d'ordre 2 dont la première ligne est 1,2 et la seconde est 2,5.

Cordialement.

[invited7e4cd6b]

Bonjour,

Mais ta matrice n'est pas symétrique! Et son noyau est non nulle en plus.

[invitef3414c56]

Re-bonjour,

Relisez svp: Première ligne 1, puis 2; seconde ligne 2, puis 5.

cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

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[invite1005b010]

salut,

la matrice est symetrique definie positive donc on peut introduire le produit scalaire associé, et à l'aide de cauchy scharz on arrive à l'inégalité:
|aij|<= Racine(aii*ajj), mais pour passer au résultat que tu cherches j'y arrive pas, je dois zapper une propriété sur les matrices sym def positives..

[Seirios]

Bonjour,

C'est normal, puisque Jedoniuor a donné un contre-exemple à l'inégalité.

[invite1005b010]

j'avais pas lu c'est pour ça..

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,
Dsl j'avais supprimé mon premier message et j'avais compris que tu parlais d'une matrice[1,2][2,5] mais mon ordinateur a planté.

Finalement, je pense que l'on voulait parler de la formule: qui me semble correct et plausible.

Je sais que la démonstration ferait intervenir un Cauchy Schwarz, mais je ne trouve pas un vecteur propice pour ce faire. J'aurai besoin d'une piste.

[invite1005b010]

Il suffit de considerer le i eme et le j eme vecteur dune base ( dont on peut biensur demontrer l'existence)

[invited7e4cd6b]

Bonsoir,

Bon alors voila comment je procède:
;
On definit le produit scalaire, pour 2 vecteurs:
Soit avec une b.o.n. dont les vecteurs sont: .

On prend pour vecteurs e_i et e_j et on applique Cauchy Schwartz:

Et c'est tout bon.

Merci pour le coup de pouce.

[invite1005b010]

c'est ça.

hania a khay Lwa7ch.

[Seirios]

On prend pour vecteurs e_i et e_j et on applique Cauchy Schwartz:

Il y a une erreur : , il n'y a pas de carré ; tu as également oublié quelques valeurs absolues.

[invited7e4cd6b]

Le carre j'aurais du l'ajouter au début, mais c'est une faute d'inattention. Mais bon c'est correct, tout compte fait.

Lwaaaa7ch

[Seirios]

Si tu rajoutes un carré au début sans changer le reste, alors tu n'appliques pas correctement l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Au final, ton raisonnement te donne .

[invitea07f6506]

Euh, au contraire, en rajoutant le carré au début, l'inégalité de Cauchy-Schwarz marche très bien. De toutes façon, il ne peut pas démontrer que , ce n'est pas homogène.