équations differentielles

[invite30fe7136]

2. On considère l'équation t*x"(t)-(t+1)*x(t)+x(t)=0 sur R/{0}
(f1,f2) une base des solutions de (2). Calculer le Wronskien W(t)
Puis vérifier que f1=exp(t) est solution.En utilisant l’expression explicite de W(t)
montrer que f2(t) vérifie une équation linéaire scalaire non-homogène d’ordre un.
Résoudre cette équation et calculer f2(t)

Le wronskien c'est le déterminant de la matrice constitué des f1 et f2 et f1' et f2'. Je vois pas ce que je peux calculer de plus que ça... Du coup après je vois pas comment prouver que f2 vérifie une équation linéaire
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[invitef3414c56]

Bonsoir,
Votre wronskien est égal à f1*f2'-f1'*f2. Calculer sa dérivée, en utilisant le fait que f1 et f2 vérifient votre équation différentielle.

Cordialement.

[invite30fe7136]

oui ça je sais donc suffit que je dise que W est f1*f2'-f1'*f2 ?
"En utilisant l’expression explicite de W(t)
montrer que f2(t) vérifie une équation linéaire scalaire non-homogène d’ordre un." pour ça je vois pas du tout

[invitef3414c56]

Il faut dériver W: W'=..... Vous verrez apparaitre les dérivées secondes de f1 et f2. Puis vous utilisez le fait que f1 et f2 vérifient l'équation différentielle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite30fe7136]

en dérivant et en utilisant les données puis en intégrant entre t0 et t je trouve f2'-f2=(tW(t0)/t0)exp(-t0)
Le problème est que du coup je trouve f2=k*exp(t)-(W(t0)/to)exp(-t0)(1+t)
Et dans la question suivante je dois montrer qu'il existe une unique équation de la forme x"(t)+a(t)*x'(t)+b(t)*x(t)= 0 ayant pour solutions f1=exp(t) et f2=t+c, c constante complexe puis trouver a(t) et b(t) or en fait si on prend c=1 on tombe sur l'équation précédente donc mon f2 devrait être 1+t et pas k*exp(t)-(W(t0)/to)exp(-t0)(1+t)

[invitef3414c56]

Bonjour,

Ce que vous avez trouvé me parait correct. Vous pouvez simplifier en disant que votre f2 est de la forme où m est une constante. Ce qui apparemment vous g\^ene parait aussi parfaitement normal: Vous trouvez par ce calcul tous les f2 solutions qui forment une base de solutions avec (et donc vous devez avoir m non nul, cf votre cours sur l'annulation du wronskien). Ce que vous pouvez donc dire c'est que comme votre constante k est arbitraire, et votre constante m aussi à condition d'\^etre non nulle, vous pouvez choisir k=0 et m=1, et en conclure que une base de solutions est et .

Pour la question qui suit, voici deux possibilités (noter que votre constante c est fixée)

a) Vous écrivez que et sont solutions de votre équation différentielle x"+ax'+bx=0.
Vous aurez donc un système ordinaire de deux équations à deux inconnues a(t) et b(t) d'où a et b. Vous pourrez faire la remarque que si c=1, vous retrouvez votre première équation différentielle.

b) Plus astucieux: Considérez le déterminant dont la première ligne est x,x',x", la seconde la m\^eme chose avec f1,f1',f1", et la troisième avec les dérivées de f2=t+c: f2,f2',f2". Il est clair que que si on fait x=f1 ou f2, le déterminant est nul. En calculant ce déterminant (simplifiez avant de faire les calculs) vous avez donc fabriqué une équation différentielle, dont f1 et f2 sont solutions . En multipliant par ce qu'il faut, vous ramenez le coefficient de x" à 1, et vous devez retrouver la m\^eme équation différentielle que par la méthode a).

Cordialement.

[invite30fe7136]

ah ok oui pour le k=0 j'y avais pensé mais pas au fait qu'on pouvait poser que la deuxième vaut 1...
Juste une dernière chose que j'ai pas trouvé dans mon cours, pour montrer qu'il existe une unique équation de la forme x"(t)+a(t)*x'(t)+b(t)*x(t)= 0 ayant pour solutions f1=exp(t) et f2=t+c. L'existence et l'unicité de cette équation viennent de quoi?

[invitef3414c56]

Prenez deux fonctions f1 et f2, que l'on va supposer indéfiniment dérivables, et de plus telles que leur wronskien ne s'annule pas sur un intervalle I de R. Alors, il existe une unique équation différentielle sur I de la forme x"+a(t)x'(t)+b(t)x(t)=0 qui admet comme solution f1 et f2: Vous appliquez le procédé a) de mon message précédent, si vous avez une telle équation, le système linéaire auquel vous aboutissez pour déterminer a(t) et b(t) a pour déterminant le wronskien; comme il est non nul, le système est de Cramer, et admet donc une unique solution a(t), b(t).

Maintenant, si vous regarder le procédé b) , il vous donne une équation différentielle vérifiée par f1 et f2 sans l'hypothèse de non annulation du wronskien, mais vous n'avez plus l'unicité forcément.

Cordialement.

[invitef3414c56]

En relisant votre message de départ, je suis quand meme un peu surpris de voir comme domaine d'étude R privé de 0; à priori, il faudrait se placer sur , et séparément.

Vous \^etes sure de votre énoncé? En tout cas faire attention à ce point.