Equations différentielles

[invite7536172]

Bonjour,

J'ai un problème sur un exercice, je ne comprends vraiment rien aux équations différentielles je crois !

Voici l'énoncé :

On désigne par E l'ensemble des fonctions f dérivables sur R, ne s'annulant pas sur R, telles que :
f'(x) + 2f(x) = (f(x))² pour tout réel x

1) f est une fonction de E. Démontrez que la fonction g définie par g(x) = 1/ f(x) est dérivable sur R et qu'elle est solution d'une équation différentielle de la forme y'+ ay = b (a et b réels)

=> j'ai trouvé : 2g - g' = 1

2) Déduisez-en que les fonctions de E sont les fonctions

où k est un réel, k 0

=> Je ne vois pas du tout comment il faut s'y prendre, pourriez vous m'expliquer ?

Merci beaucoup !
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[invited897deb3]

il faut que tu decompose toute ton equation , tu verras sa seras que mieu

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

1) f est une fonction de E. Démontrez que la fonction g définie par g(x) = 1/ f(x) est dérivable sur R et qu'elle est solution d'une équation différentielle de la forme y'+ ay = b (a et b réels)

=> j'ai trouvé : 2g - g' = 1

Personnellement, je l'aurais plutôt écrit sous la forme g' - 2g = -1 pour bien avoir la forme demandée.

2) Déduisez-en que les fonctions de E sont les fonctions

où k est un réel, k 0

=> Je ne vois pas du tout comment il faut s'y prendre, pourriez vous m'expliquer ?

Maintenant, connais-tu l'expression de la solution générale à l'équation différentielle y' + ay = b ? Si oui tu peux déduire la solution de g' - 2g = -1 et en inversant tu retombe bien sur ce qui est demandé.

Duke.

[invite7536172]

A vrai dire tout cela me semble être du charabia.

L'expression de la solution générale à l'équation différentielle y' + ay = b est bien
f(x) = ke(ax) + b/a ?

Et je ne vois pas comment déduire de cela la solution...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Eh bien applique à ton cas.
Tu auras l'expression de g(x).

Pour trouver f(x) il te suffit d'inverser puisque f(x) = 1/g(x)