Calage géographique

[Dlzlogic]

Bonsoir,
J'ai un problème qui me parait suffisamment intéressant pour être proposé sur ce forum. Il ne s'agit pas d'un exercice et je vais le résoudre de toute façon, mais toute idée supplémentaire est toujours bonne à exprimer.
J'ai une image plane d'une portion de la surface terrestre. Je ne sais pas le système de projection qui a été utilisé pour créer cette image.
J'ai identifié 12 points régulièrement répartis, pour ces points, j'ai les coordonnées XY, par ailleurs j'ai lu leurs coordonnées géographiques lat, lon. Si nécessaire, je peux identifier d'autres points, mais ça ne me parait pas nécessaire.
Je cherche à établir la formule qui me permettra de calculer les coordonnées géographiques de l'ensemble des points de l'image.
Pour donner une idée, l'amplitude en longitude est de l'ordre de 50°, en latitude, de l'ordre de 35°.
Pour mémoire, lorsque l'espace concerné n'est pas si grand, la transformation affine donne des résultats satisfaisants.
Bon courage, si ça vous amuse.
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[leon1789]

D'un point de vue mathématique, une projection cartographique permet d'établir une correspondance bijective entre une partie de la surface de la Terre et une partie du plan, tel que et où désignent des coordonnées planes, la latitude, la longitude et des fonctions continues sur l'ensemble de définition.

Si je comprends bien, la question est trouver (une approximation de) la fonction réciproque en connaissant uniquement 12 points . On peut alors penser à des méthodes d'interpolation de fonctions à deux variables.

[Médiat]

Bonjour,

des fonctions continues sur l'ensemble de définition.

Pas forcément : http://lewebpedagogique.com/classebl...e-planisphere/

[leon1789]

Exact : les bords de la carte posent effectivement des soucis de continuité.

Donc les fonctions sont continues ... sauf sur un certain nombre de lignes ou de points.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

J'ai une image plane d'une portion de la surface terrestre. Je ne sais pas le système de projection qui a été utilisé pour créer cette image.
J'ai identifié 12 points régulièrement répartis, pour ces points, j'ai les coordonnées XY, par ailleurs j'ai lu leurs coordonnées géographiques lat, lon. Si nécessaire, je peux identifier d'autres points, mais ça ne me parait pas nécessaire.
Je cherche à établir la formule qui me permettra de calculer les coordonnées géographiques de l'ensemble des points de l'image.
Pour donner une idée, l'amplitude en longitude est de l'ordre de 50°, en latitude, de l'ordre de 35°.
Pour mémoire, lorsque l'espace concerné n'est pas si grand, la transformation affine donne des résultats satisfaisants.

Je ne suis pas sûr d'avoir compris ton problème. Tu as une portion de sphère est bijection sur une portion du plan, et tu voudrais retrouver à partir de l'image de douze points ?

Si c'est bien cela, sans aucune précision sur , cela me paraît difficile...

[Médiat]

Sans compter qu'il y a d'autres problème, par exemple en projection géographique (cylindrique) des points (les pôles) deviennent des segments, que dans la projection stéréographique il manque des points, que les point les plus éloignés sur la représentation plane (dans toutes les projections que je connais) peuvent être très proches sur la sphère, etc. ...

[leon1789]

Justement, je suppute que la situation du problème évoqué par Dlzlogic est plus cadrée qu'un cas général sans hypothèse : il a dit par exemple que la carte portait sur une partie de la sphère (amplitude en longitude est de l'ordre de 50°, en latitude, de l'ordre de 35°) et par conséquent j'imagine (et c'est purement spéculatif !) que la carte est plus ou moins convexe, sans découpage dans le genre de l'exemple qu'a donné Médiat.

[Dlzlogic]

Bonjour,
Je vois que mon problème suscite de l'intérêt.
D'abord un premier point, toute projection a pour but de représenter sur une face plane une portion de la sphère.
Les projections les plus utilisées sont la projection Lambert qui est une projection cônique et la projection de Mercator qui est une projection cylindrique. Dans le cas présent, je ne sais pas quelle projection a été utilisée. Donc, toute hypothèse sur ce point est sans intérêt.
Par contre, dans le cas présent, la fonction que je cherche est continue.
Il y a des projections cylindriques qui me transforment pas les pôles en une ligne. En fait des projections, il en existe pour tous les goûts

@ Serios, petite indication : on peut voir des photos aériennes de pratiquement tous les endroits de la terre. Telles que présentées, ces photos sont à peu près supposées être dans un plan perpendiculaire à la verticale. Par ailleurs, vous disposez d'un plan d'une partie de votre village, en particulier, les parties cultivées et/ou boisées. Vous voulez mettre en coïncidence les 2 représentations. Vous avez donc 2 documents distincts, vous identifiez des points identiques et vous calculez une transformation affine. Mon problème se complique un peu, puisque l'une des deux images a des coordonnées sphériques, l'autre des coordonnées planes déformées.

Pour la supputation de Léon, j'ai sous les yeux, sur un papier suite à une impression avec mon imprimante, le dessin de la zone concernée. J'ai identifié des points avec une image de GoogleEarth sur mon écran et j'en ai noté 12 dans les 2 systèmes. Lorsque j'aurais mis au point la méthode, elle sera parfaitement générale et utilisable dans toutes les situations.

[leon1789]

Pour la supputation de Léon, j'ai sous les yeux, sur un papier suite à une impression avec mon imprimante, le dessin de la zone concernée. J'ai identifié des points avec une image de GoogleEarth sur mon écran et j'en ai noté 12 dans les 2 systèmes.

Si tu nous montres la zone, on pourrait mieux se rendre compte de la complexité de la carte.

[Dlzlogic]

Ca servirait à rien, c'est un calcul strictement théorique.

[leon1789]

C'est quoi " un calcul strictement théorique " ?

Si c'est bien cela, sans aucune précision, cela me paraît difficile...

+1

[Dlzlogic]

Un calcul strictement théorique est un calcul tel que j'en ai donné un exemple avec les photos aériennes. Autrement dit, si certaines conditions (éventuellement à définir) sont remplies, il peut être appliqué dans n'importe quel cas.
J'ai oublié un précision qui me parait être sous entendue, c'est la formules qui donnera le moins d'écarts.
Dans le cas de photos aériennes, c'est à dire 2 images planes, c'est la même formule que j'utilise depuis près de 20 ans. Ici, j'en ai une plane et une sphérique.

[leon1789]

J'ai oublié un précision qui me parait être sous entendue, c'est la formules qui donnera le moins d'écarts.

Dans l'absolu, la formule qui donnera le moins d'écart (avec les coordonnées géographiques réelles), c'est la fonction réciproque de la projection cartographique qui a été utilisée pour établir la carte. Mais on ne l'a connait pas.

[Dlzlogic]

******** Remarque tout à fait déplacé : de plus je vous avais demandé d'arrêter les enfantillages ! ********
En essayant de raisonner simplement : on a 3 points non alignés, connus en XY et connus en coordonnées géographiques. On peut définir la formule de transformation affine qui permet de connaitre les coordonnées géographiques de n'importe quel point. Dans mon cas j'en prévois de 8 à 20 au lieu de 3.
Si on connaissait la formule de projection, il n"y aurait pas de problème, il y a des tas de logiciels qui calculent ça très bien.
Information complémentaire, si la dimension de la zone n'est pas trop importante, moins d'une dizaine de degré, les variations de distances sont suffisamment faibles pour autoriser une transformation affine plane.

[Dlzlogic]

Bonjour,
La qualité du résultat est satisfaisante.
Merci.

[leon1789]

si certaines conditions (éventuellement à définir) sont remplies, il peut être appliqué dans n'importe quel cas.

Quelles sont les conditions d'application de ta méthode ?

[Dlzlogic]

Il n'est évidemment pas possible de réponde à cette question tant que la méthode n'est pas formalisée.

[leon1789]

La qualité du résultat est satisfaisante.

Tu as donc un programme qui tourne. Quel est le principe de l'algorithme ? De quels outils mathématiques cet algorithme a-t-il besoin ?

Par exemple, j'imagine que les deux cartes que tu utilises sont des compacts (au sens mathématique du terme), c'est-à-dire grossièrement que la frontière de la carte plane correspond à la frontière de la région terrestre : les fonctions de projection et sa réciproque seraient alors des homéomorphismes, voire des difféomorphismes. Cela élimine des projections cartographiques du genre de celle que Médiat a donnée en exemple.

[Dlzlogic]

La réponse est dans mon premier message.

J'ai un problème qui me parait suffisamment intéressant pour être proposé sur ce forum. Il ne s'agit pas d'un exercice et je vais le résoudre de toute façon, mais toute idée supplémentaire est toujours bonne à exprimer.
J'ai une image plane d'une portion de la surface terrestre. Je ne sais pas le système de projection qui a été utilisé pour créer cette image.
J'ai identifié 12 points régulièrement répartis, pour ces points, j'ai les coordonnées XY, par ailleurs j'ai lu leurs coordonnées géographiques lat, lon. Si nécessaire, je peux identifier d'autres points, mais ça ne me parait pas nécessaire.
Je cherche à établir la formule qui me permettra de calculer les coordonnées géographiques de l'ensemble des points de l'image.
Pour donner une idée, l'amplitude en longitude est de l'ordre de 50°, en latitude, de l'ordre de 35°.
Pour mémoire, lorsque l'espace concerné n'est pas si grand, la transformation affine donne des résultats satisfaisants.

Le but d'une projection cartographique est de représenter sur une feuille de papier une portion ou la totalité de la surface de la terre.
Lorsqu'on parle de projection cartographique on sous-entend nécessairement une fonction continue. Il ne faut pas confondre avec une représentation à but éducatif des problèmes liés aux projections.
Les 2 projections les plus utilisées sont la projection Lambert (conique) et celle de Mercator (cylindrique) avec sa variante transverse.
Citons pour mémoire la projection stéréographique et la projection de Bonne.

Tu m'excusera de ne pas répondre sur les termes que tu emploies, je ne les connais pas.
Les outils mathématiques nécessaires sont assez courants, méthode des moindres carrés, résolution de système linéaire.
Une projection est une fonction biunivoque ( je crois qu'on dit bijective) et continue.
La question qu'on peut se poser à propos d'une projection, c'est si elle est conforme ou pas, c'est à dire si elle conserve les angles ou pas.
A titre d'exemple, soit 2 cartes IGN au 1/25000 voisines, il n'est pas possible de les coller l'une à l'autre en conservant la continuité et la planéité.

Je donne ces détails à titre indicatif, puisque, dans le cas de mon problème, on ne connait pas la projection utilisée.

[leon1789]

Une projection est une fonction biunivoque ( je crois qu'on dit bijective) et continue.

Ok, fonction bijective, mais l'exemple que Médiat a donné au message n°3 montre que certaines projections ne sont pas continues sur la totalité de leur ensemble de départ.
C'est pour cela que je te demande des précisions sur tes deux régions (sur la sphère et sur le plan). Est-ce que le contour du bord d'une carte correspond exactement au contour du bord de l'autre carte ? Ce n'est pas vrai dans l'exemple de Médiat, mais c'est peut-être vrai dans ton cas, je ne sais pas car tu ne montres pas d'exemple.

Les outils mathématiques nécessaires sont assez courants, méthode des moindres carrés, résolution de système linéaire.

Ok, mais c'est tout de même peu d'informations pour comprendre comment tu procèdes. Comment les 12 points ont-ils été choisis ? Quelle est la méthode de calcul ?

[Dlzlogic]

La qualité du résultat est satisfaisante, mais je ne suis pas tout à fait satisfait.
On sait que la variation en Y est proportionnelle à la variation de longitude.
J'étais entrain de compléter mon explication, mais je réponds à ton message.
[Début d'aparté]
1- si une projection est cartographique, c'est à dire pour dessiner une carte, elle est nécessairement continue dans le domaine de la carte. "nécessairement" est à prendre dans son sens stricte : c'est nécessaire, mais pas forcément suffisant.
2- il n'y a pas "deux cartes" Il y en a une seule qui est "forcément" une projection, puisque le feuille de papier est plane, c'est une carte. L'autre information est constituée pas les coordonnées géographiques, latitude et longitudes. La carte est limitée dans tous les sens, les coordonnées géographiques existent, tout simplement.
3- les points ont été choisis arbitrairement, 12 c'est beaucoup, je prévoyais la possibilité d'en éliminer (peu précis ou faux), mais je garde les 12. Les coordonnées géographiques ont été lus sur GoogleEarth, les coordonnées plane, dans la base de donnée de l'image.
4- quant à la méthode ce calcul, c'est le sujet de ce topic.
[Fin d'aparté]

Donc, dY = k . dLat ==> Lat = A + B.Y
Le calcul est satisfaisant et les paramètres A et B seront utilisés pour le calcul de l'ensemble des point de la base.

Dans le sens des X, dx = k .cos(dLat)
On appelle ligne isométrique la ligne suivant laquelle le facteur d'échelle est identique. Par un point donné, il passe une ligne isométrique et une seule.

Soit une carte donnée, il existe un méridien zéro, qui détermine l'origine des X. Par exemple, dans la projection Lambert, le méridien 0 est celui de Paris, et un a rajouté une constante pour éviter les coordonnées négatives.
Dans le cas présent il est important de déterminer la position du méridien zéro, ou plutôt l'origine des coordonnées. C'est ce problème qui m'occupe actuellement.

[leon1789]

On sait que la variation en Y est proportionnelle à la variation de longitude.
Donc, dY = k . dLat ==> Lat = A + B.Y
Le calcul est satisfaisant et les paramètres A et B seront utilisés pour le calcul de l'ensemble des point de la base.

Dans le sens des X, dx = k .cos(dLat)

Pour les Y, tu parles de longitude et dans ta formule il y a Lat. Tu voulais écrire dY = k . dLong ==> Long = A + B.Y ?

Ensuite pour les X : si dLat est proche de 0, alors dx est proche de k (car cos(dLat) est proche de 1), c'est bien cela ?

J'ai l'impression que tu prends les Y pour la longitude, et les X pour la latitude : n'est-ce pas plus habituel de prendre l'axe des X croissant vers l'est et l'axe des Y croissant vers le nord ?

[Dlzlogic]

Pour les Y, tu parles de longitude et dans ta formule il y a Lat. Tu voulais écrire dY = k . dLong ==> Long = A + B.Y ?

Ensuite pour les X : si dLat est proche de 0, alors dx est proche de k (car cos(dLat) est proche de 1), c'est bien cela ?

J'ai l'impression que tu prends les Y pour la longitude, et les X pour la latitude : n'est-ce pas plus habituel de prendre l'axe des X croissant vers l'est et l'axe des Y croissant vers le nord ?

Pardon, je reprends.
La variation de Y n'a rien à voir avec la longitude, c'est naturellement la latitude.
Donc la formule est bonne : Donc, dY = k . dLat ==> Lat = A + B.Y
Le but de cela est d'avoir une valeur approchée de la latitude pour calculer la correction de X.
Rectification de la formule des X
dX = k . dLong . cos(Lat).
Les latitudes : 0 à l'équateur, 45° par chez nous en France.
Les longitudes, 0, soit Paris, soit Greenwich.
Les X de gauche à droite, c'est à dire croissants d'ouest vers l'est, les Y croissant vers le Nord.
Ce que je voulais mettre en évidence, mais assurément je me suis planté, les longitudes se comptent suivant des méridiens, qui sont tous égaux et les latitudes, se comptent suivant des parallèles qui sont tous différents. Donc les longueurs suivant la direction des X (Ouest -> Est) est "proportionnelle" à la longitude et au cosinus de la latitude. Il en résulte que pour passer d'un X à une longitude, il faut connaitre la latitude.

[leon1789]

ok Lat = A + B.Y où A et B sont des constantes.

dX = k . dLong . cos(Lat).

donc X = C . cos(Lat) . Long + D où C et D sont des constantes.

En fait, ces formules sur Y et X sont des formules "espérées" (car en réalité on ne connait pas la projection utilisée), non ?

[Dlzlogic]

Oui, en fait, ce sont plus que des formules, ce sont des définitions.
Comme on a 12 points, donc 12 définitions, on utilise la méthode des moindres carrés pour résoudre cela.
Dans le cas où les deux systèmes sont plans, c'est facile, là la difficulté est justement que l'un des deux systèmes n'est pas plan, d'où l'intérêt du problème.

[leon1789]

En posant les conditions





on se fixe automatiquement un certain type de projection cartographique, car certaines projections cartographiques sont loin de vérifier ce genre de relations. Par exemple, une cartographie du pôle nord (http://commons.wikimedia.org/wiki/Fi...png?uselang=fr) ne pourra être approchée de cette façon : en effet, la première formule n'est pas adaptée car, sur l'axe central de la carte, en allant de bas en haut, Y augmente toujours mais la latitude augmente avant le pôle puis diminue après le pôle.

[Dlzlogic]

Je ne comprends pas où tu veux en venir.
Je cherche à faire la transformation que j'ai décrite je ne cherche en aucun cas à faire une formule générale ou inventer quoi que ce soit.
Le signe "approximatif" que tu emploies dans tes formule est certes vrai, ponctuellement, quand je parlais dans une réponse précédentes de "conditions", ça pourrait être par exemple, "la zone concernée n'est pas à cheval sur l'équateur ou sur un pôle".
En tout cas, merci pour cette intervention.

[leon1789]

Je cherche à faire la transformation que j'ai décrite je ne cherche en aucun cas à faire une formule générale ou inventer quoi que ce soit.

ah ok, je pensais que tu chercher à établir une formule qui te permettrait de calculer les coordonnées géographiques de l'ensemble des points de la carte, et qu'elle serait parfaitement générale et utilisable dans toutes les situations, disons dans une zone d'amplitude de l'ordre de 50° en longitude, et de l'ordre de 35° en latitude.

Le signe "approximatif" que tu emploies dans tes formule est certes vrai, ponctuellement, quand je parlais dans une réponse précédentes de "conditions", ça pourrait être par exemple, "la zone concernée n'est pas à cheval sur l'équateur ou sur un pôle".

Donc, à mes yeux, le problème devient maintenant celui-ci : tu as une méthode de calcul (celle que tu as explicitée ci-dessus) et il s'agit de savoir dans quelles conditions est elle satisfaisante. C'est cela ?

[Dlzlogic]

Je pense que ce sujet n'intéresse personne.
Si tu veux continuer à discuter, ce sera par MP.

[leon1789]

Je ne vois pas ce qu'apporteraient les MP... mais si tu le souhaites, maintenant qu'on a une idée un peu plus précise du problème, on peut clôturer cette discussion que tu avais lancée.