Bonjour à tous,
Je ne voit pas la différence entre convergence normale (CVN) d'une série de fonctions sur un intervalle et la CVN sur tout segment d'un intervalle d'une série de fonctions.
Je ne comprends pas l'exemple de la fonction dzeta de Riemann.
Merci de vos renseignements.
Bonjour.
J'imagine qu'il s'agit de convergence surou
De la même façon, tout segment a une longueur finie, pas
Cordialement.
Merci de ta réponse,
Désolé mais je ne comprends toujours pas. On m'explique ceci :
1) Pour n >0, soit I=]1,+inf[, fn: x->1/n^x
Lim(en 1) fn = 1/n et donc la norme infini de fn sur I est supérieur ou égal à 1/n qui DIVERGE et donc la série de fn ne CV pas sur I
2) Soit J=[a,b] inclus dans I. Dans ce cas, la norme infini de fn sur J est 1/n^a et donc converge d'après Riemann (a>1)
Bilan: La série converge normalement sur tout segment de I
Je comprends bien 2) car la plus petite valeur de a sera toujours supérieur à 1. Ce que je comprends de 1), c'est que la série ne converge pas pour x=1. Mais je vois pas pourquoi ce n'est pas à tout l'intervalle.
On est bien dans ce que je disais,
mais c'est en 1 que ça se passe.
Il serait bon que tu prouves chacun des deux points. En gros, sur chaque intervalle [a,b] avec a>1, la norme est bornée. Elle ne l'est pas sur ]1,b]. C'est tout.
"Ce que je comprends de 1), c'est que la série ne converge pas pour x=1" ?? On ne s'occupe pas de x=1, puisqu'on travaille sur ]1,+ infini[; 1 n'en fait pas partie.
"Mais je vois pas pourquoi ce n'est pas à tout l'intervalle." ? Incompréhensible pour moi. peux-tu expliquer clairement si c'est encore utile ?
Cordialement.
Bonjour,
Je comprend pas pourquoi la série ne converge pas sur I. Je comprends pourquoi elle converge sur tout intervalle de I, ca OK.
Mais il me semble que pour tout x appartenant à I, la série converge étant donnée que le 1 est exclus.
Mais elle converge (simplement) sur I. pas de problème !!!
Par contre elle ne converge pas normalement, il n'y a pas convergence normale.
Je commenc eà me demander si tes difficultés ne proviennent pas simplement du fait que tu n'as pas compris ce qu'est une convergence normale. Revois la définition, il ne s'agit pas de traiter "pour tout x", mais de traiter la fonction elle-même. Ce qui est en cause, ce n'est pas la convergence des fn(x), mais le comportement global des fn.
Quand tu dis : "il me semble que pour tout x appartenant à I, la série converge" tu parles de convergence simple.
Cordialement.
Une série converge normalement sur I ssi la borne sup converge.
Elle converge normalement par morceaux sur I, mais pas sur I. C'est la différence des 2 que je ne cerne pas (me semble t-il).
Pourtant,
je t'ai donné une explication, avec un exemple de propriété de même genre. Encore un autre exemple : pouvoir faire une longueur de piscine , ce n'est pas la même chose que de faire un 200m nage libre, même si le 200 m se fait en 4 longueurs de piscine.
Autre exemple : 1/x est borné sur n'importe quel intervalle [a, +oo[ si a>0, mais pas sur [0,+oo[.
D'accord, merci de tes renseignements (et de ta patience)
Juste une dernière question, de manière générale, si l'énoncé pose un ouvert, est ce que la suite sera convergente par morceaux sur cet ouvert ? Car au point de l'ouvert, la série ne converge pas ?
C'est le cas de la fonction dzeta de Riemann par exemple.
Désolé,
mais c'est assez incompréhensible. Je ne sais pas ce que veut dire "convergente par morceaux", ni "au point de l'ouvert".
Pardon c'est moi qui m'exprime mal.
Mais j'ai eu la réponse de mon prof de math. Généralement dans un énoncé, si l'intervalle d'étude de dépars est un ouvert, c'est pour montrer que la série ne converge pas normalement sur cet intervalle mais convergente sur tout segment de cet intervalle.
Merci pour tes réponses gg0.
