base de ker(f-I)

[invite33fd01bb]

Bonjour,
dans un exo je cherchais une base de Ker(f-Id), je suis arrivée à l'equation x2 +· · ·+ xn = 0
je fais comment pour trouver la dimension ??
Merci d'avance
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[gg0]

Bonsoir.

Comment veux-tu qu'on sache de quoi tu parles ?

[invite33fd01bb]

désolé
j'essayerai d'être plus claire!
Le but de l'exercice est de diagonaliser une Matrice A, j'ai commencer par chercher les valeurs propres de A, λ est une valeur propre de A si, et seulement si, il existe X non nul tel que
AX = λX, c'est-à-dire vérifie le système :
x1 + ·· ·+xn = λ x1
x1 = (λ + 1) x2
...
x1 = (λ + 1) xn
et j'ai fais une etude des cas
Premier cas λ = −1
(S) se réduit alors à  x1 = 0
x2 +· · ·+ xn = 0
et la faut que je trouve la dimension de Ker(A + I )
et ça j'ai pas su comment faire

[gg0]

Bonjour.

j'ai eu du mal à comprendre ce que tu faisais :

c'est-à-dire vérifie le système :
x1 + ·· ·+xn = λ x1
x1 = (λ + 1) x2
...
x1 = (λ + 1) xn

Si j'ai bien compris, tu as utilisé les valeurs de ta matrice (première ligne 1,1,1, ...1, deuxième ligne 1,-1,0,0, ...0, etc.) pour obtenir ces équations, les coordonnées du vecteur propre étant x1, x2, ...xn.

Maintenant je peux répondre à ta question. Les solutions de x1=0 et x2 +· · ·+ xn = 0 sont tous les vecteurs (0, a₂,a₃, ...a_n-1,-(a₂+a₃+..+a_n-1)). Tu vois immédiatement de combien de nombres différents indépendants tu peux disposer, ce qui te donne la dimension. Tu peux alors facilement trouver une base.
Une autre idée est de considérer le sev défini par x1=0. x2 +· · ·+ xn = 0 définit un hyperplan de ce sev, de dimension un de moins.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite33fd01bb]

Merci pour ta réponse