Chambre/ drapeau d'un espace vectoriel

invite441b8ec8 · 01/04/2013, 16h57

Bonjour,

J'ai ce problème mais je n'ai aucune idée pour commencer un peu d'aide serait donc bienvenue

.

Soit V un espace vectoriel de dimension. Une chambre de V est une collection de sous-espaces

$\text{[math]}$
telle que $\text{[math]}$ pour $\text{[math]}$ Une chambre sera notée $\text{[math]}$ .

Montrer le théorème suivant:

Etant données deux chambres $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , alors il existe une base $\text{[math]}$ de V et une permutation $\text{[math]}$ de $\text{[math]}$ telle que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ pour tout $\text{[math]}$

Merci d'avance pour quelques pistes !

**Seirios** · 01/04/2013, 18h15

Bonsoir,

Il y a plusieurs cas à distinguer, mais je t'en donne un exemple :

Si $\text{[math]}$ , il existe deux vecteurs $\text{[math]}$ linéairement indépendants tels que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ n'est pas inclus dans $\text{[math]}$ , alors il existe un vecteur $\text{[math]}$ linéairement indépendant par rapport à $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ . Ensuite, $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ puisque $\text{[math]}$ forme une base de $\text{[math]}$ . Sans perte de généralité, on peut supposer que $\text{[math]}$ . Si $\text{[math]}$ , il n'y a rien à faire puisqu'alors $\text{[math]}$ , sinon il suffit de remplacer $\text{[math]}$ par $\text{[math]}$ pour avoir $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

invite441b8ec8 · 02/04/2013, 21h06

Ok mais cet exemple n'est pas bon étant donné que selon l'énoncé, $\text{[math]}$ . Or pour toi $\text{[math]}$

**Seirios** · 03/04/2013, 00h54

C'est juste une question de notation, si tu préfères appeler $\text{[math]}$ le vecteur $\text{[math]}$ , cela ne change rien, le raisonnement reste correct.

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