Sous espaces vectoriels

[invite4c80defd]

Bonsoir,
j'aurais besoin de renseignements concernant les espaces vectoriels
voici l'énoncé:
F(R,R) est l'ensemble des fonctions de R dans R.
Les ensembles suivants définissent-ils dfes sous espaces vectoriels de F(R,R) avec les lois + et * usuelles ?
on a :
A={f appartenant à F(R,R) / f(0)=1 }
B={f appartenant à F(R,R) / f positive}

Pour le A:
a vu d'oeil , la réponse est non. J'ai donbc essayé de prendre un contre exemple:
soit g(x)= x^2 +1 et h(x)= x+1
on a bien g(0)=f(0)=1
mais la fonction t(x)=g(x)+f(x) ne vérifie pas t(0)=1 ...car t(0)=2
est-ce suffisant pour dire que ce n'est pas un sev de F(R,R) ?

pour le B:
je voudrais le démontrer dans le cas général avec deux fonctions mais lesquelles prendre (en plus qu'elles vérifient f(0)=1) car l'ensemble des fonctions de R dans R est vaste...

Merci pour vos conseils
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[PlaneteF]

Bonsoir,

J'ai donbc essayé de prendre un contre exemple:
soit g(x)= x^2 +1 et h(x)= x+1
on a bien g(0)=f(0)=1
mais la fonction t(x)=g(x)+f(x) ne vérifie pas t(0)=1 ...car t(0)=2
est-ce suffisant pour dire que ce n'est pas un sev de F(R,R) ?

Oui ton contre-exemple est correct, ...

Sinon tu peux faire plus simple en remarquant que la fonction nulle n'appartient pas à .

pour le B:
je voudrais le démontrer dans le cas général avec deux fonctions mais lesquelles prendre (en plus qu'elles vérifient f(0)=1) car l'ensemble des fonctions de R dans R est vaste...

Prend n'importe quelle fonction positive qui te passe par la tête. Que penses-tu de ?

[invite4c80defd]

Merci pour le A, je n'avais pas pensé à le fonction nulle
mais -f n'appartient pas à B , je ne peux donc pas l'utiliser, si ? (je ne vois pas trop où vous voulez en venir ..)

merci

[inviteea028771]

Si f est un élément d'un espace vectoriel, alors \lambda f est aussi un élément de cet espace vectoriel

Ca doit, en particulier être vrai pour lambda = -1

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4c80defd]

ah , vous voulez dire que si je prend une fonction positive ( appelons la g(x)), alors lors de la multiplication par un réel a négatif, la fonction n'appartient plus à F(R,R) car a*g(x)<0 et donc, B: pas un sev de F(R,R) ?

Merci