Primitive de cette racine?

[EspritTordu]

Bonjour,

Comment trouver la primitive, s'il vous plaît, de cette racine :


C'est en fait une partie de la définition de :



D'où, dans le processus d'intégration apparaît pi?

Merci d'avance.
-----

[Amanuensis]

Changement de variable x = cos theta, dx = -sin theta dtheta, et sin² theta = 1/2 - 1/2 cos(2theta).

Le pi apparaît par l'intégration de la constante additive 1/2

[EspritTordu]

Je ne comprends pas...

[Blead]

Bonjour

Amanuensis te dis qu'il faut que tu procède à un changement de variable, et ici tu dois poser x = Cos(u).

Si tu ne comprend ce qui est détaillé, fais le, c'est à dire regarde ce que vaut dx et sur quel intervalle intégré u .

Cdt

[A voir en vidéo sur Futura]

[EspritTordu]

Oui j'ai ; et ensuite? Par où aller?

[PA5CAL]

Et où est passé le carré du x ?

[EspritTordu]

oupps un oubli...

donc comment faire par la suite avec

?

[gg0]

Bonjour.

Comment faire avec : pas grand chose !
Si tu ne sais pas faire un changement de variable dans une intégrale, la méthode qu'on te propose ne fonctionne pas. Je vais regarder une autre méthode.

[gg0]

Voila du tout fait :

Considère la fonction
Tu la dérives, et tu auras ta réponse.

Cordialement.

NB : J'ai procédé par changement de variable.

[PA5CAL]

Si tu te souviens que cos²(u)+sin²(u)=1 , si tu connais la dérivée de cos(u), et si tu sais développer sin²(u), ça devrait pouvoir t'aider.

Faire des maths, c'est 10% d'inspiration et 90% de transpiration. Si tu veux obtenir des résultats, il ne faut pas te comporter en simple spectateur devant tes formules en attendant que la vérité jaillisse spontanément. Il faut aussi prendre la peine de cherche, de faire des essais, de poser des hypothèses et de mouiller sa chemise pour les vérifier ou les infirmer...

[gg0]

Je réécris la fonction (qui est mal passée)

[PA5CAL]

Non, rien. Message à supprimer

[EspritTordu]

.........................

[EspritTordu]

Je réécris la fonction (qui est mal passée)

Changement de variable x = cos theta, dx = -sin theta dtheta, et sin² theta = 1/2 - 1/2 cos(2theta).

Le pi apparaît par l'intégration de la constante additive 1/2

Merci à tous pour ces messages, je commence à voir plus clair... et le message de Amanuensis me devient plus compréhensible.
Je ne connaissais pas les changements de variables dans les intégrales. Je découvre, cela semble être néanmoins dans la logique des choses.
Pourquoi travaille-t-on sur l'intégrale, en modifiant dx, alors que l'on ne travaille pas sur la primitive avant?


J'en suis à

Si tu te souviens que cos²(u)+sin²(u)=1 , si tu connais la dérivée de cos(u), et si tu sais développer sin²(u), ça devrait pouvoir t'aider.

Faire des maths, c'est 10% d'inspiration et 90% de transpiration. Si tu veux obtenir des résultats, il ne faut pas te comporter en simple spectateur devant tes formules en attendant que la vérité jaillisse spontanément. Il faut aussi prendre la peine de cherche, de faire des essais, de poser des hypothèses et de mouiller sa chemise pour les vérifier ou les infirmer...

Que voulez-dire par développer sin^2(u)? Comment faire apparaître l'arccos?

Pour moi, les primitives et les intégrales, me paraissent toujours un archaïsme au 21ème siècle en Maths... Peut-être que je n'ai pas suffisamment d'expérience dans ce domaine, mais cela reste la même chose je crois : comment en mathématique, si rigoureuse par ailleurs, se contente-t-on, encore, pour les primitives et les intégrales, de méthodes 90% devinette? Avouez-vous qu'il s'agit d'une approche inductive (si on n'a pas une formule simple, ce qui n'est jamais le cas bien souvent, et dans ce cas de formule simple, on applique bêtement en faisant du copié-collé...) qui se démarque des autres techniques mathématiques. On fait de la prospective pour ramasser toutes les miettes dans tous les domaines mathématiques, on y essaie celle-ci- puis celle-là, puis la combinaison des deux dans un sens, puis dans l'autre.... Ah!!! c'est honteux et cela explique pourquoi, aujourd'hui encore, les primitives et les intégrales sont si difficiles à faire apprendre et apprendre, quand il ne s'agit pas de s'avouer vaincu et incapable de trouver l'intégrale dans une équation particulière. C'est difficile à digérer parce qu'on a pas l'honnêté d'avouer que c'est une approche débutante, artisanale, même si cela à plusieurs siècles déjà. Un jour, je rêve peut-être, des génies mathématiques, des méritants médailles Fields ou Abel, trouveront une méthode mathématique simple, mécanique, déductive entièrement, et systématiquement donnant le résultat d'une intégrale!
Le fait que cela soit 90% devinette impose une maîtrise large des mathématiques, tant en connaissance qu'en réflexe ayant demandé, et demandant un conditionnement et un entraînement constant.
Heureusement on a parfois la béquille des logicielles formels, même s'ils n'expliquent pas comment ils s'y sont pris!!!


Quoi qu'il en soit la méthode, des changements de variables est loin d'être évidente. Sans doute finit-on par l'apprendre par coeur. Celui qui a trouvé cela la première fois, devait vraiment avoir un certain coup de chance, c'est mon opinion.


Un des questionnement initial était l'intriguante entrée des fonctions circulaires cosinus et les autres dans une fonction qui ne l'appelle pas à première vue. C'est étrange. C'est questionnant. Voilà pourquoi on parle de pi donc. Pi cela vient des fonctions trigonométriques. Pourrait-on envisager de retrouver pi sans les cosinus depuis cette équation initiale, qui n'est que du Pythagore. Etrange là aussi, de retrouver ce théorème. J'ai l'impression naissance d'une définition circulaire dans mon esprit.... Mais c'est sans doute un sujet hors de cette discussion qui amènerait sur un long discours, sans fin, où l'on remettrait à plat dimensions, théorème de pythagore, définition du cercle, définition de pi... Que des fondamentaux!

[Amanuensis]

J'en suis à

Faut sortir le -, sinon on lit une soustraction.

Pour moi, les primitives et les intégrales, me paraissent toujours un archaïsme au 21ème siècle en Maths... Peut-être que je n'ai pas suffisamment d'expérience dans ce domaine, mais cela reste la même chose je crois : comment en mathématique, si rigoureuse par ailleurs, se contente-t-on, encore, pour les primitives et les intégrales, de méthodes 90% devinette?

Avouez-vous qu'il s'agit d'une approche inductive (si on n'a pas une formule simple, ce qui n'est jamais le cas bien souvent, et dans ce cas de formule simple, on applique bêtement en faisant du copié-collé...) qui se démarque des autres techniques mathématiques.

Bof... C'est du "pattern matching", qui s'applique à peu près partout en maths. D'une certaine manière, c'est même l'essence des maths que de reconnaître des patterns...

Quoi qu'il en soit la méthode, des changements de variables est loin d'être évidente. Sans doute finit-on par l'apprendre par coeur.

Ce sont les patterns qu'on "apprend", qu'on apprend à reconnaître.

[Amanuensis]

Un des questionnement initial était l'intriguante entrée des fonctions circulaires cosinus et les autres dans une fonction qui ne l'appelle pas à première vue. C'est étrange.

Pas tant que cela. La fonction a un rapport immédiat avec le cercle, car elle implique y² = 1-x², soit y²+x²=1, l'équation d'un cercle. Autre manière de voir, sur [-1, 1] a pour courbe un demi-cercle, c'est très "visuel".

L'intégrale initiale est simplement l'aire d'un quart de disque!

[EspritTordu]

Quelle commande s'agit-il pour afficher théta?

Bof... C'est du "pattern matching", qui s'applique à peu près partout en maths. D'une certaine manière, c'est même l'essence des maths que de reconnaître des patterns...
Quoi qu'il en soit la méthode, des changements de variables est loin d'être évidente. Sans doute finit-on par l'apprendre par coeur.


Ce sont les patterns qu'on "apprend", qu'on apprend à reconnaître.

Quel anglicisme? Mais c'est bien l'idée que j'en fais : moi qui croyait que cela venait que de moi! Avouez ce n'est pas très rationnel. D'où viennent les primitives de bases, là aussi c'est une découverte fortuite?

[Amanuensis]

\theta

"Appariement de patrons" n'est pas très clair, ni pour ceux qui connaissent le concept, ni pour les autres.

Les primitives de base se calculent à partir de méthodes elles-mêmes venant des formules de dérivation.

Exemples:

Le pendant du changement de variable, c'est (gof)' = f' (g'of).

Le pendant de l'intégration par partie, c'est (uv)' = u'v + v'u.

---

Et c'est très rationnel... Il y a une différence entre "ce n'est pas rationnel", et "je ne vois pas en quoi c'est rationnel".

[EspritTordu]

Pas tant que cela. La fonction a un rapport immédiat avec le cercle, car elle implique y² = 1-x², soit y²+x²=1, l'équation d'un cercle. Autre manière de voir, sur [-1, 1] a pour courbe un demi-cercle, c'est très "visuel".

L'intégrale initiale est simplement l'aire d'un quart de disque!

Oui tout cela est bien lié. Mais j'ai toujours le sentiment de tourner autour du pot. En fait, cela finit-il par la question : qu'est-ce qu'une dimension? Celle qui double, fait un cercle, celle qui fait x et y, pourquoi leur rapport avec pythagore s'élève-t-il au carré (je dois concéder cependant avoir trouvé une image plus pertinante pour moi que les aires de carré habituellement avancés pour "démontrer" ce théorème de base), pourquoi des fonctions élaborées cosinus?... Ah que des interrogations encore métaphysiques pourrait-on finir par dire!

[EspritTordu]

\theta

"Appariement de patrons" n'est pas très clair, ni pour ceux qui connaissent le concept, ni pour les autres.

Oui c'est lourd et peu informatif ; je préfère encore copier-coller!

[Amanuensis]

Le "pattern matching" peut se traduire aussi comme "reconnaissance des formes", avec une petite nuance de sens.

Et la reconnaissance des formes est une fonction essentielle du cerveau, qu'on utilise en permanence, des centaines de fois par seconde.

[EspritTordu]

C'est du "pattern matching"

Je crois, qu'à l'école, on m'aurait dit cela, même avec cet anglicisme, pour me présenter les primitives et les intégrales, cela aurait simplifier l'approche. C'est une honnêté intellectuelle de dire que la seule méthode que l'on ait c'est celle-ci, même si elle est bancale pour telles ou telles raisons.

[EspritTordu]

Le "pattern matching" peut se traduire aussi comme "reconnaissance des formes", avec une petite nuance de sens.

Et la reconnaissance des formes est une fonction essentielle du cerveau, qu'on utilise en permanence, des centaines de fois par seconde.

Je crois qu'il ya une différence notable entre reconnaître des formes géométriques, des motifs répétitifs et trouver un motif alambiqué dans des changements de formes successifs le rendant plus du tout évident.

\theta

"Appariement de patrons" n'est pas très clair, ni pour ceux qui connaissent le concept, ni pour les autres.

Les primitives de base se calculent à partir de méthodes elles-mêmes venant des formules de dérivation.

Exemples:

Le pendant du changement de variable, c'est (gof)' = f' (g'of).

Le pendant de l'intégration par partie, c'est (uv)' = u'v + v'u.

---

Et c'est très rationnel... Il y a une différence entre "ce n'est pas rationnel", et "je ne vois pas en quoi c'est rationnel".

Comment vient-on à comme f(x)=x et F(x)=x^2/2?

Oui peut-être que je ne vois pas en quoi c'est rationnel... Je veux dire cependant, au point de vue raisonnement, il y a mieux que l'inductif (en l'occurence le déductif qui est entièrement rationnel lui) : l'inductif est rationnel dans son développement, mais ne l'ai pas au début, c'est de la passion qui va fait choisir de prendre cette voie plutôt que telle autre (et sur le moment faire oublier les autres). Et c'est en cela que la démarche est plus bancale à mon goût. Toutes les possibilités sont ouvertes, l'expérience, le réflexe mathématique surdosé, permettent de réduire ces possibilités, avec du pif!

[gg0]

Esprit Tordu :

comment en mathématique, si rigoureuse par ailleurs, se contente-t-on, encore, pour les primitives et les intégrales, de méthodes 90% devinette?

Les mathématiques sont rigoureuses, les résolutions de problèmes ne le sont pas ! La réponse à ta question est : "parce que dans la plupart des cas il n'y a pas d'écriture "simple" des primitives et qu'on est bien content quand on a une méthode qui permet d'en trouver une".
Ces questions sont bien connues depuis les travaux de Liouville au dix-neuvième siècle.

mais surtout, tu confonds calculer et résoudre. On calcule une dérivée, on résout le problème de trouver une primitive. ce problème est résolu quand on a trouvé un calcul qui donne le résultat, comme c'est le cas de pas mal de problèmes en maths.
Rigueur ou pas, on ne sait pas résoudre des problèmes parfois très élémentaires comme celui-ci : existe-t-il un nombre fini de couples de premiers de différence 2 ? la rigueur n'a rien à voir avec la résolution. Mais si un jour on a la réponse, ce sera par une preuve rigoureuse.

Cordialement.

NB : Quand on a appris à dériver de nombreuses fonctions, on remarque très facilement comment trouver les "primitives habituelles"; ça ne demande plus tellement d'intelligence.
NBB : Si on ne veut pas apprendre, on utilise un logiciel de calcul formel.

[EspritTordu]

On calcule une dérivée, on résout le problème de trouver une primitive

C'est une belle formulation. Mais il fut un temps où certains calculs étaient des problèmes!

sin² theta = 1/2 - 1/2 cos(2theta)

Comment trouve-t-on cela?

[gg0]

Ah non,

quand on calcule, on applique des méthodes automatiques. mais il est vrai qu'on peut avoir de difficultés à déterminer comment obtenir certains résultats. Ce qui est un problème

Pour ta formule trigo, c'est élémentaire en inversant la formule de cos(2x). On voit ça en classe de première (France).

Cordialement.

[PA5CAL]

Que voulez-dire par développer sin^2(u)? Comment faire apparaître l'arccos?

Il n'y a pas d'arccosinus dans la façon de faire que je suggère.

En faisant un changement de variable x = cos(u), on a dx = -sin(u).du et √(1-x²) = √(1-cos²(u)) = |sin(u)|. Pour x variant de 0 à 1, soit u variant de π/2 à 0, on a √(1-x²) = +sin(u). On en revient donc à intégrer :



Comme par ailleurs on peut développer le carré du sinus :



on a :



d'où le résultat.


Note que les transformations que j'ai utilisées ne sont pas extraordinairement compliquées, et qu'on les apprends généralement au lycée et au collège. Le tout, c'est qu'il faut faire l'effort de s'en souvenir et de les utiliser ici, pour l'intégration, qui est normalement quelque chose de nouveau. Au début c'est peut-être un peu dur, mais à force d'exercice, ça devient comme un automatisme.

[PA5CAL]

Oups... vers la fin de la dernière ligne, il faut lire et non pas , et j'ai oublié un facteur 1/2 à cet endroit.

[EspritTordu]

gg0:
Merci de me le rappelez, c'était oublié et bien loin. On la trouve ici http://gilles.costantini.pagesperso-...s/formtrig.pdf ou alors là http://fr.wikipedia.org/wiki/Trigonom%C3%A9trie où on l'appelle même formule de Simpson...

Les méthodes automatiques l'ont-elles toujours été?

[PA5CAL]

... ça donne donc :




(Je vais encore me répéter, mais il serait appréciable de rallonger le délai de ré-édition des posts)