Double recollement C infini

[invite514148c3]

Salut à tous,

Je cherche à résoudre le problème général suivant :

J'ai une fonction f- Cinfinie de -infini à a<0.

J'ai une fonction f+ Cinfinie de +b>0 à +infini.

Je veux relier ces deux fonctions par une fonction (quelconque), telle que la réunion f des 3 soit Cinfinie sur R tout entier.

Dans un premier temps déjà, on peut chercher le cas plus simple où f- et f+ sont des constantes sur leurs intervalles respectifs (on suppose alors les deux valeurs différentes pour l'exercice )

Dans sa version simplifiée au moins, il est probable que ça soit classique. J'ai essayé de tripatouiller avec des exp(-1/t), mais je n'ai pas encore trouvé.

Si vous avez des pistes... : )
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[Amanuensis]

Une fonction classique nulle en dehors de ]-1, 1[ et Cinfini est e^{-1/(1-x²)}

Voir s'il est possible de l'adapter pour faire les connexions voulues ?

[invite514148c3]

Salut,

Je suis peut-être idiot sur le coup, car j'avais déjà cette fonction (en combinant deux exponentielles de -1/t), mais je n'avais pas réussi à en faire ce que je voulais : par exemple, comment la modifierais-tu dans le cas concret :

f- : x -> -1 sur ]-inf;-1[
f+ : x -> +1 sur ]+1;+inf[

pour faire un recollement c infini entre ces deux morceaux ?

edit : ah, entretemps tu as édité ton message pour une formulation moins assurée

[invitef3414c56]

Bonjour,

Il doit certainement y avoir des conditions a donner: par exemple, je ne vois pas comment la fonction f définie sur ]-\infty, -1[ par f(x)=\sin(1/(x+1)) peut se prolonger en une fonction indéfiniment dérivable.

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitef3414c56]

Ceci dit, pour deux valeurs L1 sur ]-\infty,a[ et L2 sur ]b,+\infty[, (a<b) on peut procéder de la manière suivante.

Je note f la fonction définie sur \R par f(x)=0 si x\leq 0, f(x)=\exp(-1/x) si x>0;, qui est de classe C-\infty sur \R. Toutes les fonctions construites plus loin sont indéfiniment dérivables, je ne le précise plus.

Soit f_{a,b}(x)=f(x-a)f(b-x). f_{a,b} est nulle en dehors de [a,b], strictement positive sur ]a,b[. Soit



F_{a,b} est nulle sur ]-\infty,a[, égale à une constante L>0 sur [b,+\infty[. Soit G_{a,b}(x)=F_{a,b}(x)/L.

Soit



Sauf erreur, h est égale à L_1 sur ]-\infty,a[, et à L_2 sur ]b,+\infty[.

Cordialement.