Calcul de Développements Limités (1ère Année)

[invite4ccd6fad]

Bonjour je suis en 1ère année de fac de sciences et j'aurais besoin d'aide s'il vous plaît, dans mes révisions des DL, ils sont tous en 0 à l'ordre 2,
Je vous remercie d'avance de votre aide,

Par exemple,
J'ai le DL de :
sin(x+x²) / cos (x-x²)

Quand x tend vers 0 , cela donne bien 0 donc j'applique les deux DL en posant X = x+x² et X' = x-x²

Donc j'ai sin(X)/cos(X')
dans les deux DL les o sont o(x^2n+2) pour sin et o(x^2n+1) pour cos,
Or je veux que leur quotient soit o(x²) (ordre 2 c'est bien ça svp ?)

Donc je pose 2n+2 / 2n+1 = 2
=> 4n = 2n => n=0

Aussi sin(X) = X et cos(X') = 1
Donc le DL se simplifie pas sin(X)/cos(X') = X = x+x²



Voilà comment je procède, est-ce bon ? est-ce la seule solution ? le résultat est il correct ?

merci de vos réponses et de votre aide qui sans nul doute me sera très précieuse,
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[gg0]

Bonjour.

Il s'agit ici d'appliquer la règle sur le quotient de DL. Première chose, le dénominateur ne s'annule pas, on pourra faire la division. Ensuite, il faut des développements à l'ordre 2 des deux facteurs. Pour le sin, en posant X=x+x², on a bien
sin(x+x²)=sin(X)=X+o(X²)=x+x²+ o(x²+2x³+x⁴)=x+x²+o(x²)
Je te laisse prouver le passage de o(x²+2x³+x⁴) à o(x²).

Pour le cos, il faut aller à l'ordre 2 :
cos(x-x²)=cos(X')=1-X'²/2+o(X'²)=1-(x-x²)²/2+o((x-x²)²) = ...

Je te laisse finir (en particulier négliger les termes d'ordre supérieur). Ensuite, il faut faire la division par puissances croissantes jusqu'à l'ordre 2.

Bon travail !

[invite4ccd6fad]

Merci beaucoup, voilà ce que ca donne :

sin(X) = X + o(X²)
or X² = (x+x²)² = x² + 2x^3 + x^4 (IR)

donc sin(X) = x + x² + o(x²) + o(2x³) + o(x⁴)
Au final comme on le veut à l'ordre 2, on néglige tous les termes en x et o(x^n) dont la puissance est supérieure strictement à 2
Donc sin(X) = x + x² + o(x²) après troncature

Pour cos(X') = 1 - X²/2 + o(x²ⁿ⁺¹) = 1 - X²/2 + o(x³) [[or le o(x³) se range dans o(x²)]]
Donc :
cos(X') = 1 - X²/2 + o(X²)
= 1 - (x-x²)²/2 + o((x-x²)²)
= 1 - (x²-2x³ + x⁴)/2 + o(x² - 2x³ + x⁴)
De même on néglige les o(2x³) et o(x⁴) qu'on "inclut dans o(x²) en tronquant (approximation)
cos(X') = 1 - x²/2 + x³ - x⁴/2 + o(x²)


Le quotient sin(x+x²)/ cos(x-x²) s'écrit alors :

Q = (x+x²) / (1-x²/2 + x³ - x⁴)
Je suppose qu'on doit le laisser sous cette forme (plus de développement possible)


Est-ce le bon résultat ? Vous ai-je bien compris ?

Merci encore pour votre aide, je commence enfin à comprendre !

[gg0]

Le DL pour le cos est à simplifier (on veut o(x²), donc ...)

D'autre part, c'est loin d'être fini, car un DL est un polynôme suivi d'un o(..) et là tu as une fraction rationnelle.

Vois ton cours (ou un cours) pour apprendre la méthode que j'ai en partie explicitée précédemment.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4ccd6fad]

Excusez c'était une erreur bête,

le DL au final serait donc :

(x+x²) / (1-x²/2) + o(x²)

[gg0]

Non, ça, ce n'est pas un développement limité (voir la définition); je tge l'ai déjà dit, tu ne lis pas ??

As-tu dans tes cours la technique de calcul sur des quotients de DL. Si oui, tu appliques. Si non, il va falloir trouver une autre méthode (formule de Mac Laurin ?).

Cordialement.

[invite4ccd6fad]

Je ne vois vraiment pas, mon dernier calcul est une fonction polynomiale suivie d'un o(x²), et quand je cherche la définition d'un DL j'obtient que d'une part c'est un polynôme + o() et d'autre part les DL usuels s'écrivent sous cette forme-ci,

Il ne mesemble pas avoir vu en cours le DL d'un quotient, est-ce si sorcier que ca ?
Dans ma mémoire on s'arrangeait pour trouver le n de chaque DL afin que le o(x^n) final soit celui attendu (mais cela doit etre pour les compositions de DL)
Pour le quotient il suffit donc d'avoir o(x^n) en haut et en bas,
Je ne vois pas quoi faire de plus à ce stade ayant un polynome et un o(x²).

Désolé, merci de m'aider,

[gg0]

Bonjour.

quand je cherche la définition d'un DL j'obtient que d'une part c'est un polynôme + o() ..

Il n'y a pas d'autre part. Il y a une définition, qui dit qu'un DL d'ordre n d'une fonction f en a est la donnée d'un polynôme de degré au plus n, P, et d'une égalité f(x)=P(x)+o((x-a)ⁿ). C'est le second membre qu'on appelle "DL de f au voisinage de a".

Si tu n'as pas parmi les règles du cours comment obtenir des DL de sommes, produits, quotients, composées, je ne comprends pas que tu aies à faire cet exercice. Et si tu as pratiqué des DL de composées sans la règle, c'est grave ! Tu as écrit des "calculs" sans rime ni raison ! En maths, si on n'applique pas une règle, on ne fait pas de maths !!!

Donc étudie vraiment ton cours pour savoir ce que tu peux utiliser comme règle.

Cordialement.

[invite4ccd6fad]

Par exemple pour ln(cos(x)) à l'ordre 3 en 0


Je connais ln(1+X) = X - X²/2 + X^3/3 + o(x^3)
et cos(x) = 1 - x²/2 + o(x^3)

La composition s'écrirait donc,

ln(cos(x)) = ln(1 + cos(x) - 1)
= ln (1+X)
Avec X = cos(x)-1 qui tend vers 0 quand x tend vers 0

X=cosx-1 = -x²/2

D'où ln(1+X) = X - X²/2 + X^3/3 + o(x^3)
=(-x²/2) - (-x²/2)²/2 + (-x²/2)^3 / 3 + o(x^3)
= -x²/2 - x^4/4 + x^6/8 + o(x^3)
Voilà ce que je trouve pour le DL (soit bien un polynome + un o(x3))
Cordialement.

[invite4ccd6fad]

Je n'avais pas vu votre réponse, je ne sais plus trop où j'en suis au niveau des DL et ce sont des DL très gros) où je ne sais pas par où commencer,

Je sais que l'on nous demande parfois de calculer un limite et il me semble que : "la limite d'une fonction en 0 est le membre sans x du DL en 0 de cette fonction".
Soit si le DL en 0 d'une fonction f serait par exemple : 5 + x²/2 - x^3/3
La limite de cette fonction en 0 serait 5.

Merci d'avance,
Cordialement,

[gg0]

Par exemple pour ln(cos(x)) à l'ordre 3 en 0


Je connais ln(1+X) = X - X²/2 + X^3/3 + o(x^3)
et cos(x) = 1 - x²/2 + o(x^3)

La composition s'écrirait donc,

ln(cos(x)) = ln(1 + cos(x) - 1)
= ln (1+X)
Avec X = cos(x)-1 qui tend vers 0 quand x tend vers 0

X=cosx-1 = -x²/2 +o(x²)

D'où ln(1+X) = X - X²/2 + X^3/3 + o(X^3)
=(-x²/2) - (-x²/2)²/2 + (-x²/2)^3 / 3 + o(x^6)
= -x²/2 + o(x^3) car - x^4/4 + x^6/8 ne sert à rien
Voilà ce que je trouve pour le DL (soit bien un polynome + un o(x3))
Cordialement.

Reste à savoir ce qui te permet de faire ce changement de variables ...

Je réitère ma question : As-tu un cours sur les DL et les calculs sur les DL ?

Inutile de continuer si tu travailles "au jugé" ("Dans ma mémoire on s'arrangeait pour ..." : Ce n'est pas une question de mémoire, mais de règles de calcul).

[invite4ccd6fad]

Disons que c'est vrai que j'ai beaucoup de mal à me conformer au règles de calcul,
Pour moi ca sort ou ca ne sort pas, c'est comme ca mais je comprend votre point de vue,

Je fais ce chgt de variables car je veux faire apparaitre ln(1+quelque chose) et que cos(x) tend vers 1 et il faut que ca tende vers 0, donc je change pour X= cos -1 qui lui tendra vers 0.

Cordialement.
Et non je n'ai pas de cours qui en vaille vraiment la peine si ce n'est le mien que je n'ai pas compris sinon je ne serais pas là.

[gg0]

Alors,

il y en a plein dans ta BU; plein chez les libraires spécialisé; plein dans des documents sur Internet.

Moi, je ne peux rien pour toi, parce que le problème est chez toi : savoir les règles utilisables; les appliquer.

Donc fais déjà ton apprentissage de comment se font les calculs. Après tu calculeras.

Nb : Dans ton cours, il n'y avait pas que des exemples, ou alors c'est que tu n'as pas noté l'essentiel !!!