Des Matrices ! Et GLn(R) ?

[invite159cf21f]

Bonsoir à tous et à toutes.

Je n'ai pas énormément travailler sur les matrices avant les vacances, et j'aimerais m’entraîner un petit peu avant de reprendre.
Je suis donc en train de faire des exercices ais je bloque sur un type d'exercice, je ne vois vraiment pas quoi faire.

J'ai deux matrices

A=
-19 12
-30 19

et

B=
1 0
0 -1

Je dois montrer qu'il existe une matrice P appartenant à GL_n(R) (je ne comprend pas bien ce qu'est cet ensemble) tel que B= P^-1AP
et en déduire l'expression de Aⁿ en fonction de n entier naturel.

Je suis complètement perdu...

Merci d'avance pour vos réponse

Pluume
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[invite8ac20103]

Bonsoir,

As-tu commencé quelques choses?

Gln(R) pour mieux comprendre, il s'agit de l'ensemble des matrices inversibles. Ici le but est de trouver P.

Cdt

[invite159cf21f]

oui j'ai tenté le paris un peu fou de poser deux matrice
P=
x y
z t

P^-1=

x' y'
z' t'


avec ça j'ai calculer P^-1AP et j'ai identifier ce qui me donne 4 relations

j'ai également écrit que P¹P = Id (matrice identité) ce qui me redonne 4 relations... mais c'est infaisable ainsi...

[gg0]

Tu n'as pas un cours ? Il ne parle pas de P^-1AP quelque part ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Bonjour,

Il serait pratique de savoir ce que tu sais sur les matrices, parce que l'exercice est très simple une fois que l'on a suivi un cours sur la réduction.

[invite179e6258]

avec ça j'ai calculer P^-1AP et j'ai identifier ce qui me donne 4 relations

j'ai également écrit que P¹P = Id (matrice identité) ce qui me redonne 4 relations... mais c'est infaisable ainsi...

tu as donc 8 équations à 8 inconnues, ce n'est pas infaisable (mais pénible).

si au lieu d'écrire A=P^-1BP tu écris PA=BP, tu n'as plus que 4 équations à 4 inconnues, c'est plus facile.

[invite159cf21f]

je vais essayer ton idée toothpick-charlie

Ce que je sais... et bien pas grand chose !
Mais effectivement P^-1AP c'est la formule de changement de base dans le cas des endomorphismes mais je ne vois pas en quoi cela peut m'aider...

Donc ce que j'ai vu pour le moment c'est les formules de changement de base et trois méthodes pour calculer l'inverse de matrice.


Donc ici en fait, c'est comme si j'avais déjà changer de base, mais je cherche la matrice de passage...

Merci beaucoup pour votre aide.

[invite159cf21f]

Bonjour,

Il serait pratique de savoir ce que tu sais sur les matrices, parce que l'exercice est très simple une fois que l'on a suivi un cours sur la réduction.

Non je n'ai pas eu de cours sur la réduction... C'est étrange qu'on en ait besoin, il nous à dis qu'on pouvais avancer avec le cours qu'on avait, si on voulait s’entraîner...

[Seirios]

Tu n'en as pas vraiment besoin pour des matrices 2x2, mais la matrice de changement de base s'exprime simplement grâce aux vecteurs propres.

[invite159cf21f]

Hmm...

Je pense que je vais m'attaquer à une feuille d'exercice parceque je n'ai as encore vu la notion de vecteur propre !

Bref... J'ai pris un peu trop d'avance !

Merci quand même pour votre aide.

[Seirios]

Mais comme l'a dit toothpick-charlie, le problème se réduit à la résolution d'un système linéaire de quatre équations à quatre inconnues, donc tu peux résoudre le problème à la main.

[invite179e6258]

il faut quand-même vérifier que P est inversible, parce que PA=BP est vérifié aussi pour P=0, et remarque que si P est solution, alors cP aussi avec c un scalaire (mais ça c'est vrai aussi de l'équation initiale)