Matrice

[invitefc342db7]

Bonsoir, j'aimerais qu'on m'explique le début d'un exercice que j'ai fait en cours mais que je ne comprends pas...

Voici l'énoncé:
"Dans R³, calculer la matrice dans la base canonique de la projection sur le plan d'équation x+y+2z=0 parallèlement à la droite dirigée par (1,2,1)"

Soit

Soit f la projection vectorielle sur P parallèlement à D



forment une base de P (car non proportionnels)

est une base de D

Comme , base de

=
f(v₁)_f(v₂)_f(v₃)
1___0___0 v₁
0___1___0 v₂
0___0___0 v₃

(désolé pour la mise en page)

Mon problème vient de cette matrice, je ne comprends vraiment pas d'où elle sort, comment on la calcule, ...

Si quelqu'un peut m'aider, merci beaucoup.
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[sylvainc2]

Ca c'est la matrice de la projection dans la base v1,v2,v3, pas dans la base canonique de R^3.
Dans cette base on peut écrire:
v1 = 1v1 + 0v2 + 0v3
v2 = 0v1 + 1v2 + 0v3
v3 = 0v1 + 0v2 + 1v3
Puisque la projection fait en sorte que f(v1)=v1, f(v2)=v2, f(v3)=0 on a donc
f(v1)=1v1 + 0v2 + 0v3 = (1,0,0)
f(v2)=0v1 + 1v2 + 0v3 = (0,1,0)
v(v3)=0 = (0,0,0)
Ca donne les 3 colonnes de la matrice dans la base v1,v2,v3.

Pour avoir la matrice dans la base canonique, on peut utiliser la formule de changement de base B = P^1 A P, avec A la matrice dans la base v1,v2,v3, et P la matrice de passage qui contient les vecteurs v1,v2,v3 dans ses colonnes 1,2,3 respectivement.

On peut aussi résoudre le système
f(v1)=v1
f(v2)=v2
f(v3)=0

Il faut en premier écrire v1,v2,v3 dans la base canonique que je vais noter e1,e2,e3:
v1=1e1 + 1e2 - 1e3
v2=1e1 -1e2 + 0e3
v3=1e1 + 2e2 + 1e3
Donc
f(1e1 + 1e2 - 1e3) = 1e1 + 1e2 - 1e3
f(1e1 - 1e2 + 0e3) = 1e1 - 1e2 + 0e3
f(1e1 + 2e2 + 1e3) = 0e1 + 0e2 + 0e3
Puisque f est linéaire:
f(e1) + f(e2) - f(e3) = 1e1 + 1e2 - 1e3
f(e1) - f(e2) + 0f(e3) = 1e1 - 1e2 + 0e3
f(e1) + 2f(e2) + f(e3) = 0e1 + 0e2 + 0e3
et résoudre pour f(e1), f(e2) , f(e3) qui sont les 3 inconnues et les 3 colonnes de la matrice dans la base canonique.

[invitefc342db7]

Génial sylvainc2, j'ai compris, merci beaucoup. (Pour la fin de l'exercice je l'ai comprise, pardon de ne pas l'avoir dit!)

[invitefc342db7]

Bonjour, je poste de nouveau ici vu que ça reste toujours sur le meme sujet: révision de matrice et que j'aimerais bien des explications pour un autre exercice

Soit un ensemble G de matrices de Mn(R) muni d'une structure de groupe pour la multiplication. G n'est pas un sous-groupe de GLn(R).
On note l'élément neutre E (pas forcement In) tel que pour tout M G, ME=EM=M et MM'=M'M=E où M' est l'inverse de M.

On a montré que toutes les matrices de l'ensemble G avait le même rang.

Puis à une question, on écrit:
Comme EM=M donc Im M Im E (puis comme même rang: Im M = Im E)
et ME=M donc Ker E Ker M (de même on en déduit que Ker E = Ker M car même dimension)

J'espere que j'ai tout mis mais l'exercice est assez long. J'ai mis en gras les étapes que je ne comprenais. J'ai cherché voir si c'était une propriété du cours mais je n'ai rien trouvé donc je vous demande.

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

les propriétés en gras sont presque évidentes. Par exemple pour la dernière, si un vecteur X donne EX=0, alors MEX=M0=0.

Cordialement.

[invitefc342db7]

Merci mais quand on ne les a jamais rencontré, c'est pas toujours évident pour le voir

Pour la seconde quand on dit Y Im M, est-ce que cela signifie, il existe une matrice X telle que Y = MX ?

Merci encore

[gg0]

Ah, effectivement,

quand on ne sait pas ce que sont ker et Im, c'est moins évident ! Ker A est l'ensemble des vecteurs qui multipliés par A donnent le vecteur nul, et Im est ce que tu dis.
En fait, on confond ici la matrice et l'application linéaire naturelle qu'elle induit sur les

Cordialement.

[invitefc342db7]

Merci pour tout