Factoriser un polynôme

[invitec59380e1]

Bonsoir je dois factoriser dans R et dans C le polynôme suivant P=(X²-X+1)²+1
Alors dans C je pense avoir trouvé assez facilement j ai trouvé P=(X²-X+1-i)(X²-X+1+i) mais alors dans R j ai pu tourner le polynôme dans tous les sens en développant en essayant de faire apparaître une identité remarquable mais en vain !
Pouvez vous m 'aider
Merci d avance
-----

[invite179e6258]

bonjour, à mon avis ta factorisation dans C n'est pas terminée, les facteurs doivent être de degré 1.

[gg0]

Bonsoir.

Pour factoriser dans , il n'y a pas de "truc", simplement tu sais que P n'ayant pas de racine (tu l'avais vu, j'espère), il se factorise comme produit de deux polynômes du second degré, chacun sans racine. Quitte à en multiplier un par son coefficient dominant et diviser l'autre par le même nombre, on peut écrire :

La suite est classique : développer, réduire et identifier; résoudre le système obtenu. Si ça bloque (équation du quatrième degré pas évidente), voir après.

Pour la factorisation dans , ce que tu as fait est insuffisant : On peut factoriser en produit de termes de degré 1. Tu peux soit partir d'une factorisation dans , car on sait factoriser dans les polynômes du second degré; soit utiliser ta factorisation partielle et continuer.
Si tu n'as pas pu factoriser dans , tu peux utiliser la factorisation dans , et regrouper les termes correspondant à des racines complexes conjuguées, en les multipliant.

Cordialement.

NB : j'ai supposé que tu connaissais les théorèmes sur les factorisation dans et , qu'on déduit du théorème de D'Alembert.

[invitec59380e1]

Très bien merci à vous deux!La question était juste de factoriser je pensais donc pas nécessaire de factoriser en produit d irréductibles dans C mais je vais le faire

Merci bcp

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7c37b5cb]

BONSOIR.

remarque: p(i)=p(-i)=0

p(x)=(x-i)(x+i)(x-a)(x-b)=x^4-2x^3+3x²-2x+2

p(x)=...