Résolution d'intégrale pour physicien

[maxwellien]

Bonjour, je souhaite démontrer le principe de Heisenberg avec la relation Cauchy-Schwartz mais je n'arrive pas à réduire le terme de droite de la relation C-S (intégrale au carré) à logiquement h²/4.
Merci d'avance pour votre aide.
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[albanxiii]

Bonjour,

1. on ne résout pas une intégrale, on la calcule
2. plus de détails, c'est possible ?

@+

[maxwellien]

Bonjour.

on ne résout pas une intégrale, on la calcule

Pour ma part "résoudre" signifie trouver une inconnue et dans mon cas ça serait trouver la fonction primitive.

[maxwellien]

(∆X)².(∆P)²≥φ*(X-<X>).( P-<P>)φdx le tout avec la norme au carré
<P>pérateur impulsion
<X>pérateur position
φ*:complexe conjugué de la fonction d'onde

Je n'arrive pas à introduire le commutateur [X,P] = ih qui me permettrai de trouver au final h²/4.
Merci pour cotre aide.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonsoir.

Dans un forum de physique, certains pourraient savoir de quoi tu parles. Ici, des matheux n'ont aucune raison de te comprendre. Si tu as un problème mathématique, tu l'exposes, ou tu ne demandes pas qu'on t'aide.

Cordialement.

[invite0fa82544]

La réponse se trouve dans tous les bons ouvrages de Mécanique quantique, Merzbacher par exemple.

[Deedee81]

Bonjour,

Ou dans le Leonard L. Schiff.

Mais je ne l'ai pas sous la main.

Maxwellien, l'idéal serait que tu donnes les fonctions à intégrer, en particulier les formules donnant les moyennes d'un opérateur agissant sur une fonction d'onde et rappeler la formule donnant l'incertitude (moyenne de l'écart quadratique). Après, ce n'est plus que du calcul et si tu n'y arrives pas, ce forum est l'idéal (à condition de nourrir la question).

[albanxiii]

Re,

Pour ma part "résoudre" signifie trouver une inconnue et dans mon cas ça serait trouver la fonction primitive.

Ca n'est pas le sens de ce que vous avez écrit. Et en répondant ceci, ça ne veut plus rien dire. Bref...

Bon, ça y est, c'est plié cette démonstration ?

@+

[maxwellien]

Bonjour, en fait en passant par les opérateurs bruts j'espére généraliser la démonstration à toutes formes de fonctions d'ondes.
Soient f = (X− <X>)φ(x) et g = (P−<P>)φ(x) bien sûr de carré sommable, j'applique la relation Cauchy-Schwartz.
Avec P= -h.∂/i∂x on déduit le commutateur tel que XPφ-PXφ=-h/i ou bien ihφ
Donc le terme sous l'intégrale dans mon dernier message donnerai XP-x<P>-<X>P+<X><P>+PX-P<X>-<P>X+<P><X>=(1/2)ih+tout le reste

Ce qui conduirai à la relation d'Heisenberg (∆X)².(∆P)²≥(1/4)h²?????

[invite04b0f918]

Bonjour

Un calcul similaire dans le cas général est effectué par Maltoni ici en page 4 et 5 : http://cp3.irmp.ucl.ac.be/~maltoni/PHY1222/QM-VI.pdf
Il se base sur un opérateur hermitien défini par : et l'inégalité de schwartz.
L'introduction de cet opérateur permet de remplacer dans les calculs la quantité via une petite astuce mathématique!

Mais il existe bien des méthodes pour démontrer.
Par exemple dans le cours de Dalibard ici en page 149 : http://www.phys.ens.fr/~dalibard/Not.../X_MQ_2003.pdf
En posant (recentrage sur la moyenne) qui permet d'écrire (idem pour ), on peut alors calculer la norme au carré du vecteur : .
(On utilise ainsi une démonstration de l'inégalité de schwartz mais de manière dissimulée!)
La manière est assez élégante et économe en calcul.

Il y a aussi Faure qui le démontre dans son cours en page 69 ici : http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~...ca_q/cours.pdf
Méthode assez économe et simple en calcul, en manipulant les complexes et une propriétés des opérateurs hermitiens, à savoir que :



Mais, à savoir cette démonstration s'effecteue aussi avec les transformées de Fourrier, par exemple ici : http://promenadesmaths.free.fr/Heisenberg.htm
(voir le partie 2 : inégalité de Heisenberg)

[maxwellien]

Bien merci pour tous ces super documents

[Deedee81]

Salut,

Merci Erebex. J'avais pensé prendre le bouquin où j'ai ça.... mais évidemment, tête de linotte, je l'ai oublié. Tes explications et tes liens tombent donc à pic

[invite04b0f918]

Welcome!

Au passage, je trouve que l'on pourrait se poser une question à la vue de tout ceci : car à chaque fois, on part d'un "artifice" pour ensuite dérouler les calculs?
Mais y-a-il une raison physique pour poser (sans partie réelle) même si l'on voit bien que l'idée est de faire correspondre à ?
(si on pose ceci dans le cas général avec A et B, la question se pose)

Ou pourquoi poser ce vecteur qui semble sortir de nul part ? Cela a-t-il un sens physique, ou simple mimétisme par rapport à la démonstration de l'inégalité de Schwartz en math (par exemple ici avec le vecteur x+ty : http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A...Cauchy-Schwarz) ?
Parce que cela correspond à une base (1;i) ou juste parce que "ça marche" ? Quelle est la signification physique de ce (s'il y en a une...) ou la question est-elle non fondé ? Est-ce une erreur que de vouloir donner du sens à tout postulat mathématique en physique ?

Pour Faure, la démonstration se fonde sur l’utilisation des opérateurs hermitiens dont on sait qu'ils ont un rôle centrale pour définir des bases ainsi quepour permettre la notion de mesure, via les valeurs propres par exemple. On pourrait néanmoins se demander si le fait de calculer la moyenne de a du sens ?

[maxwellien]

Bonjour, en effet lamda est un complexe qui sert à démontrer C-S mais utilisé dans notre cas, c'est juste une astuce.

[invite04b0f918]

Bonjour.

Ok. Merci pour l'information.

[bobdémaths]

Mais y-a-il une raison physique pour poser (sans partie réelle) même si l'on voit bien que l'idée est de faire correspondre à ?

Bonjour,

La raison physique est simplement que les physiciens aiment les opérateurs hermitiens. Donc quand ils étudient les groupes de Lie (qui sont typiquement les structures où les commutateurs interviennent), ils rajoutent artificiellement un i.

C'est comme quand tu passes de la mécanique hamiltonienne classique avec ses crochets de Poisson à la mécanique quantique : on transforme le crochet de Poisson en i fois le commutateur.

[invite04b0f918]

Bonjour

Merci pour votre réponse.
J'ai réfléchi un peu à la question et j'aimerais préciser un peu ma question.

D'abord établir rapidement que C est bien hermitien.
Si A et B sont hermitiens, alors la calcul de l'adjoint du commutateur donnera :


Comme A et B sont hermitiens : et
Donc :

Ainsi en posant , on a bien

Ok Très bien. De là, on peut établir les inégalités d’Heisenberg.


Mais la question que je me pose est pourquoi n'a-t-on pas à considérer le cas général : ? Ou le cas ?

- Dans le second cas, on trouve un opérateur D anti-hermtien :
- Dans le premier cas plus général, on trouverait :
Si bien que si C est hermitien, D est forcément anti-hermitien et inversement.


Pourquoi donc, dit autrement, peut-on supposer que le commutateur de A et B s'écrit comme iC sans en réfuter le cas général ?


Sinon, je ne connais que mal les crochets de Poisson, et j'ai donc regardé rapidement. Il me semble que le nombre complexe i est introduit tout à fait arbitrairement.
Mais je vais regarder de plus près. Ca fait longtemps que je dois le faire. Ce sera le prétexte.

Merci

[invite0fa82544]

1) Mais la question que je me pose est pourquoi n'a-t-on pas à considérer le cas général : ? Ou le cas ?
2) Pourquoi donc, dit autrement, peut-on supposer que le commutateur de A et B s'écrit comme iC sans en réfuter le cas général ?
3) Il me semble que le nombre complexe i est introduit tout à fait arbitrairement.
Merci

1) On peut, mais les opérateurs figurant dans cette "généralisation" ne peuvent être des observables ; or les relations d'Heisenberg n'ont d'intérêt que pour des opérateurs susceptibles de représenter des grandeurs physiques.
2) Pour la raison sus-dite.
3) Rien d'arbitraire dans l'apparition de ! C'est une nécessité quand on veut que tous les opérateurs figurant dans l'égalité soient hermitiques : le commutateur de deux opérateurs hermitiques est antihermitique, de sorte que le en facteur rétablit les choses.

[invite04b0f918]

Bonjour

Je vous remercie pour votre réponse.

Ok. Donc si je comprends bien, mathématiquement, il y a plusieurs solutions, mais seule celle-ci ( iC) est intéressante pour le physicien. Donc il ne conserve que celle-ci.
Est ce une façon de le reformuler pour tous les cas (Operateur, Poisson, etc) ?

[invite0fa82544]

.....
Est ce une façon de le reformuler pour tous les cas (Operateur, Poisson, etc) ?

J'avoue ne pas comprendre le sens cette question...

[invite04b0f918]

Oui oui. C'est normal! Je fais un raccourci pour parler vite. Mais ce n'est pas forcément exact.

Dis simplement, dans un message précédent, bobdémaths rappellait que ce type de calcul, avec le nombre i qui apparait dans les calculs, se retrouvait dans 2 situations distinctes :
- avec l'algèbre de lie et les commutateurs, le tout appliqué à la mécanique quantique
- avec le passage de la mécanique hamiltonienne classique (avec les crochets de Poisson) à la MQ (on "rajoute" ce nombre complexe i)

Mais de fait, vous m'avez tous 2 donné la réponse : on "rajoute" ce i parce que ça marche, c'est à dire parce que on "veut" des opérateurs hermitiens (en lien avec les observables).
Mais comme la démonstration est très mathématique, je m'offusque de ce que certaines "solutions" ou possibilités" soient écartées. Ou que du moins il n'y ait pas de justification physique théorique ou expérimental à ce choix...

Mais si d'un point de vue physique ce la n'apporte rien de rechercher d'autres solutions que ce fameux iC, je le conçois. J'ai juste du mal à l'accepter.
Car pour moi le commutateur [A,B] devrait s'écrire en toute rigueur [A,B] = D+iC
D'un point de vue de vue mathématique, j'ai l'impression qu'on enlève des solutions et ça me perturbe...

Merci pour vos réponses en tout cas