sous espaces vectoriels

[invite6c727d11]

Salut, j'ai rencontré des problèmes avec la deuxième question de cet exercice
Soient E un K-espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme
de E tel qu’il existe un vecteur pour lequel la famille
soit une base de E.
On note C = {}
a) Montrer que C est un sous-espace vectoriel de L(E).
b) Observer que C ={}
c) Déterminer la dimension de C.
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[PlaneteF]

Bonsoir,

(...) j'ai rencontré des problèmes avec la deuxième question de cet exercice

Quels problèmes précisément ? ... Quelle est ta réflexion sur cet exo ?

[invite6c727d11]

Bon, il est clair que l'application appartient à {}
On a donc déjà montré une inclusion , pour l'autre inclusion, j'ai considéré une application et un et je voulais montrer que . Puisqu'on connait une base de E, j'ai pensé à écrire ce x en fonction des vecteurs de la base, ensuite je me suis bloqué.
Je me suis aussi demandé est-ce que les sont uniques ou non

[invite7fcd7f26]

Bonjour,

Notons la base de . Puisque tu es en dimension fini tu peux assimiler à sa matrice dans la base . Ensuite tu observe quelles sont les valeurs de en utilisant le fait que et commutent, puis tu conclus.

P.S. : inutile de vérifier tous les vecteurs de l'espace pour vérifier que deux applications linéaires sont égales. Si elle coïncident sur une base (i.e. sur les vecteurs forment cette base), alors elle sont égales. Si tu n'y crois pas, cela peut-être un bon exercice (et très facile !) que de le montrer.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6c727d11]

Ok, merci.