groupe abelien

[invite69d45bb4]

bonjour à tous

soit(G,.) un groupe de neutre e et tel que pour tout x dans G on ai x^2 = e montrer que G est abélien

a t on le droit mathematiquement parlant d'écrire x^2=e est equivalent à x = x' avec x' le symetrique de x .sans aucune autre justification.

voici ce que moi j'ai fais:

on a x^2 = e s'écrit x.x = e ensuite on compose à droite dans les deux membres de l'égalité par x´ on a alors x.x.x´ = e.x´ après par associativité dans le membre de droite on obtient finalement x.e = e.x´ d'où par l'unicité de l'élément neutre on a x = x´

ensuite il vient

xy = (xy)' = y'. x' = y.x donc on a x.y=y.x donc G est abelien

dans l'attente d'une réponse .

cordialement
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[Seirios]

Bonjour,

La preuve est tout à fait correcte. Quant à savoir si l'on peut passer de à sans justification, on ne s'en prive pas, c'est plutôt élémentaire ; mais si tu débutes en théorie des groupes, vérifie-le les premières fois pour être sûr de bien comprendre d'où cela vient.

[invite69d45bb4]

par contre j'arrive a faire tous les exercices de ptsi sur les structures algébrique est ce que c'est d'un bon niveau par rapport au même chapitre vu en licence de maths ?

[Seirios]

Je ne sais pas vraiment. De toute manière, les seules structures algébriques vraiment étudiées en prépa ou L1/L2 sont les espaces vectoriels et peut-être un peu les groupes (mais principalement , pour des résultats d'arithmétique). Sinon, tout ce qui est anneaux, corps ou vraie théorie des groupes, cela se voit plutôt en L3/M1.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7fcd7f26]

on a x^2 = e s'écrit x.x = e ensuite on compose à droite dans les deux membres de l'égalité par x´ on a alors x.x.x´ = e.x´ après par associativité dans le membre de droite on obtient finalement x.e = e.x´ d'où par l'unicité de l'élément neutre on a x = x´

C'est beaucoup d'effort pour pas grand chose (même si cela reste correct )
La définition de l'inverse d'un élément dans un groupe c'est (l'unique) vérifiant . Donc, comme , est son propre inverse par définition.

[Seirios]

L'unicité ne fait pas à proprement parler de la définition d'un groupe, c'est une conséquence des différents axiomes.