Bonjour, comment prouver qu'un groupe de cardinal p² où p est premier est abélien ?
On voit que l'ordre d'un élément ne peut être que p ou p², si dans un produit ab l'un des deux éléments -disons b- est d'ordre p², alors la commutativité est évidente car a = b^k et donc ab=b*b^k=ba.
Mais je n'ai aucune idée pour le cas ab où a et b sont tous les deux d'ordres p, pouvez-vous m'aider ?
As-tu vu les actions de groupe ? Dans ce cas, on peut utiliser la formule de Burnside.
Non pas encore, même si ça figure dans mon cours, j'ai pensé qu'il y a une méthode "élémentaire" pour le cas particulier de ab où ord a = ord b = p, ce ne serait pas le cas ?
Tu peux quotienter par le centre du groupe.
Pour expliciter un peu ce que dit girdav, on montre peut utiliser le résultat : Si G/Z(G) est monogène, alors G est abélien. Si G est d'ordre p², on sait que son centre Z(G) n'est pas trivial, ce qui permet de conclure.
If your method does not solve the problem, change the problem.
