Topologie

[invite8b367fd4]

Bonsoir,

J'ai un exercice à faire et je ne vois pas par ou commencer on se place dans un espace topologique et on note p_i: F1*F2*...*Fn->Fi tel que (x1,x2,...,xn)|->xi la i ème projection canonique. On me demande de montrer qu'une application f:E->F1*...*Fn est continue si et seulement si pour tout i=1 à n l'application (p_i)o(f):E->F_i est continue

Je ne sais pas comment commencer pour la simple et bonne raison que dans mon cours la définition de la continuité dans un espace topologique est f:E->F est continue si pour tout sous-ensemble de F, W alors f^-1(W) appartient à E mais en appliquant cela je trouve rien de concluant...

Merci à vous
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[Seirios]

Bonsoir,

L'implication est évidente, puisqu'il ne s'agit qu'une composition de fonctions continues. Pour la réciproque, tu peux déjà remarquer que tu peux te contenter de montrer que est ouvert pour tout produit d'ouverts. Soit donc . Comme , par continuité il existe un ouvert contenant ; tu peux alors montrer que est ouvert contenant inclus dans .