Topologie-Revetement

invite76543456789 · 07/06/2013, 16h13

Bonjour,
Il a quelques temps j'avais rencontré qque part un exemple d'espace dont le revetement universel n'etait pas simplement connexe, mais impossible d'y mettre la main dessus.
Est ce que qqun connait un exemple de ce type?
Merci.

**invite4793db90** · 07/06/2013, 19h03

Salut,

euh... ce n'est pas dans la définition qu'un revêtement universel est simplement connexe ?

Cordialement.

invite76543456789 · 08/06/2013, 10h18

Non pas necessairement, c'est un revetement qui est universel dans la catégorie des revetements d'un espace donné (dans le sens ou pour tout revetement X de ta base B il existe un unique B-morphisme de E dans X).

**invite4793db90** · 08/06/2013, 11h41

Salut,

j'aurais dit que par fonctorialité, un objet initial dans cette catégorie aurait donné un groupe fondamental trivial.
Mais ce raisonnement ne tient visiblement pas...

Le contre-exemple que tu cherchais était peut-être l'archipel harmonique ? Voir ici.

Cordialement.

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invite76543456789 · 10/06/2013, 15h17

Merci beaucoup!
Oui c'etait qqch dans ce genre là que je cherchais!

invitecbade190 · 28/03/2016, 14h38

Bonjour,

Je me permets de m’incruster dans cette discussion a fin de poser une question un peu simple qui présente une suite du sujet initié par invite76543456789 sur les revêtements :

Ma question est de savoir pourquoi si $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ l’ensemble des racines du polynôme dérivée $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ l'ensemble fini : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ l'ouvert connexe : $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ est un revêtement à $\text{[math]}$ feuillets ?

Pourquoi on introduit : $\text{[math]}$ dans ce problème ? Quel est son rôle réel ?

Merci d'avance.

invite57a1e779 · 28/03/2016, 15h10

Il suffit de décrire les fibres : si z appartient à F, la fibre au-dessus de z a strictement moins de n éléments.

invitecbade190 · 28/03/2016, 15h41

Merci beaucoup.

Je ne sais pas si j'ai compris. Vous affirmez que : $\text{[math]}$ : $\text{[math]}$ .
Par absurde, supposons que : $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ a exactement $\text{[math]}$ racines et il est de degré $\text{[math]}$ , par conséquent, $\text{[math]}$ est un polynôme a $\text{[math]}$ racines simples, et par conséquent : $\text{[math]}$ , car, si $\text{[math]}$ vérifie : $\text{[math]}$ , alors : $\text{[math]}$ n'est pas un racine simple de $\text{[math]}$ , ce qui est absurde par hypothèse. Alors : $\text{[math]}$ , et donc, $\text{[math]}$ . Ce qui est absurde, non ?
Merci.

Et comment rédiger la suite et répondre strictement à la question de l'exercice Monsieur gb ?
Merci d'avance.

invitecbade190 · 28/03/2016, 16h05

Voici ce que je pense, $\text{[math]}$ est un revêtement ramifié. Lorsqu'on ôte les points de $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ devient un simple revêtement non ramifié ou revêtement tout simplement, non ? Pour montrer que c'est un revêtement à $\text{[math]}$ feuillets, il faudra montrer que : $\text{[math]}$ et que : $\text{[math]}$ est un homéomorphisme, ce que je ne sais pas faire malheureusement.

invitecbade190 · 28/03/2016, 18h25

Salut :

La réponse se trouve ici : https://webusers.imj-prg.fr/~julien....D3_RGF2013.pdf , exercice : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Cordialement.

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