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revêtement



  1. #1
    pliofree

    revêtement


    ------

    bonjour

    J'ai un peu de mal a comprendre ce que represente la notion de revetement d'espace topologique .p:E->B
    je vois ca comme une operation de decoupage de B (extension de B) , par exemple le tore peux se decouper pour avoir IR² pareil le cercle peux se decoupe pour avoir IR ,mais j'arrive pas a avoir une idée clair .si quelqu'un pouvait m'expliquer ca serait pas mal ....

    merci d'avance

    -----

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  3. #2
    pliofree

    Re : revêtement

    je precise un peu la question car la c'est tres flou...
    la corespondance de galois s'exprime de la maniere suivante ,tous les decoupage de X s'obtienne par recollage d'un espace E(revetement universelle ) de plus on sait que les recollages sont les sous groupe distingue de Aut(E).le probleme c'est que je n'arrive pas trop a comprendre le lien avec le groupe fondamentale ?

  4. #3
    martini_bird

    Re : revêtement

    Salut,

    un revêtement exprime le fait qu'autour d'un point x il existe un voisinage U de x tel que la fibre soit en fait une pile d'ouverts (un produit où F est discret). Du point de vue local on dispose en effet d'applications de recollement, mais du point de vue global, ce n'est pas toujours évident de le décrire (considère par exemple le revêtement de dans ).

    Souvent, on obtient des revêtements comme projection où G est un groupe agissant proprement discontinûment sur E. Or le groupe des automorphismes d'un revêtement agit également de manière continue sur E. Il est donc légitime de tenter de décrire le revêtement en utilisant le groupe de ses automorphismes, et dans le cas d'un revêtement galoisien, on peut effectivement le décrire comme la projection .

    Plus d'infos dans la bibliothèque.

    Cordialement.

  5. #4
    pliofree

    Re : revêtement

    salut merci de ta reponse

    Est ce que tu es d'accord avec moi quand je dit que l'opêration de prendre un revetement c'est comme si on faisait un coup de cisceau dans l'espace topologique...
    je ne connait pas beaucoup d'exemple (en gros les surfaces compacts ) par exemple le tore en coupant dedans on obtient un cylindre ,c'est un revetement non ?via car le cylindre quatienter par des translations donne le tore ,et le cylindre si je donne un coup de ciseau je tombe sur le plan . qui est aussi un revetement ...et les deux coup de ciseau que l'on donne corespondent a des lacet non homotopes du groupe ,c'est juste une coincideance ?
    en fait j'essaie de comprendre en autodidacte cette theorie mais c'est pas simple ...

  6. #5
    homotopie

    Re : revêtement

    Je n'aborderai que l'aspect "groupe fondamental".
    un revêtement quelconque.
    On peut supposer E et B connexes par arcs sinon ce revêtement est le produit direct de plusieurs revêtements connexes.
    Un revêtement a une propriété importante : pour tout chemin c dans B et y élément de E tel que p(y)=c(0) alors il existe un chemin c’ de E s’abattant sur c (poc’=c) et commençant en y (c’(0)=y. Ce chemin est même unique. (Du aux homémorphismes locaux et du fait que le support d'un chemin est compact)
    A remarquer que les relèvements d’un chemin quelconque de B définissent des bijections entre la fibre de l’origine et celle de l’extrémité. Toutes les fibres sont donc en bijection.
    En particulier, ces relèvements définissent une opération de l’espace des lacets de B d’extrémités x sur la fibre F de x. Cette opération passe au quotient

    En posant, pour c lacet de B,

    où g.y est l’extrémité du relèvement de c dans E d’origine y. On définit une surjection sur F on transporte la structure de groupe sur F ainsi.
    (Si F avait au préalable une structure de groupe agissant sur E alors ces deux opérations coïncident, vérification facile : l’opération de F agit aussi sur les relèvements et on montre que est un morphisme de groupes)
    D’autre part, l’espace des lacets de E d’extrémités y (avec p(y)=x) s’applique dans l’espace des lacets de B. Cette application passe au quotient
    .
    Or p relève également les homotopies, et F est discret (l’homotopie de lacets de B se relève en homotopie de lacets de E) est injectif et s'identifie au noyau de .

    On a ce qu'on appelle une courte suite exacte (c.s.e.) de groupes :


    La “pile” F d’antécédents des éléments de la base ont "réduit" le groupe fondamental de l’espace total E par rapport à celui de la base. Certains dans B n'en sont plus dans E.
    Mais, regardons de plus près :
    un élément libre de se relève en un chemin de E allant de y à y'. On recommence on a un chemin allant de y' à y"... et ainsi jusqu'à l'infini et dans ce cas cet élément du a été "tué" (le langage de la topologie algébrique est un peu barbare). Ou, il s'arrête au bout de n relèvements successifs. Dans ce cas il persiste comme élément libre dans . Dans le cas n=1, il est un élément intouché (il a un relevé dans ) Intéressant de regarder cela dans la c.s.e.

    Pour un élément de torsion n*c est un lacet homotiquement trivial, le processus précédent s'arrête au bout de m (m divisant n) relevés successifs. Si m=n, cet élément a été "tué". Si m=1, cet élément existe indemne dans E. Sinon, cet élément de torsion a été réduit sans disparaître.

    Ainsi pour un cercle, il y a deux sortes de revêtement de celui-ci :
    1) du cercle sur lui-même, le premier faisant n fois le tour du second
    2) la droite réelle
    Pour le tore
    1) du tore sur lui-même avec autant de façon de le faire qu'il y a de sous groupes de rang 2 dans Z²
    2) d'un cylindre sur le tore mais un cercle du cylindre peut s'enrouler plusieurs fois sur son support dans le tore et le cylindre lui-même peut faire plusieurs tours avant de se décider à coller ces deux cercles extrèmes
    3) du plan sur le tore

    Ici le coup des ciseaux fonctionne facilement pour le 3) devient plus complexe pour le 1) et le 2). Mais il a le défaut de privilégier des points particuliers.

    Cas avec torsion le plus simple : le plan projectif complexe.
    Deux façons de le voir
    1) Z/2Z agit sur S2, on colle les points antipodaux.
    2) on colle le bord d'un disque sur un cercle en faisant deux fois le tour, (et hop il n'y a plus de bords, j'arrive par un "demi-disque" je repars par l'autre)

    La deuxième permet bien de voir pourquoi le vaut Z/2Z.
    Le demi-cercle du disque est désormais un lacet mais on ne peut plus le tracer dans cette représentation en le faisant commencer par le même point (pour chaque point de ce demi-cercle on a le choix entre deux points mais la continuité oblige à prendre ceux d'un même demi-cercle).
    Le deuxième permet de voir comment en dédoublant on détruit ce lacet non trivial.
    Celui-ci définit un revêtement de RP² par S² de fibre Z/2Z. Et comme S² est simplement connexe c'est un revêtement universel. (Il paraît que le coup des ciseaux fonctionne encore je n'ai jamais trouvé que ça éclairait en quoi que soit, mais ça c'est très subjectif)
    D'autres exemples de ce type sont les revêtements universels de SO(n). Son vaut Z/2Z (c'est la conservation de l'orientation) O(n) ne convient pas (deux composantes connexes : ceux qui conservent l'orientation, ceux qui ne l'inversent). C'est le groupe des spineurs (Celui de So(2) qui est à la fois S^3=Sp(1), les quaternions unitaires, et Su(2)) est à peu près "visualisable")

    Maintenant quelques mots sur le revêtement universel. Celui-ci existe, on le construit en prenant les chemins de B de même origine qu'on envoie sur B en prenant l'extrémité), on fait opérer les lacets homotopiquement triviaux dans B de B. La fibre est le quotient des lacets par les triviaux donc est le .
    pour un autre revêtement de B avec G=image de On quotiente cet espace de chemins par les lacets appartenant à G.
    Bref, on fait un revêtement de E en partant de l'universel de fibre G. Puis en partant de G, on termine le voyage jusque B en "augmentant" de F. ceci permet de classer plus facilement les revêtements, le cas du tore est assez éclairant. Le revêtement universel, on quotiente par Z². Pour un tore on qutiente par un sous groupe de Z², et on regarde ce qui se passe quand on finit de quotienter. Pour le cylindre, on quotiente selon une "droite" (son coefficient directeur peut-être du style 17/13) dont on ne prend éventuellement qu'un sous groupe. Et on regarde. C'est l'exemple non trivial le plus simple.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    homotopie

    Re : revêtement

    Au fait l'opération des lacets de la base sur la fibre s'appellent l'holonomie.

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  10. #7
    pliofree

    Re : revêtement

    merci je lit cela aujourd'hui en regardant les JO et je repasse ce soir ...grand merci homotopie...

  11. #8
    homotopie

    Re : revêtement

    Citation Envoyé par martini_bird
    Du point de vue local on dispose en effet d'applications de recollement, mais du point de vue global, ce n'est pas toujours évident de le décrire (considère par exemple le revêtement de dans ).
    Désolé de contrarier mais cette application n'est pas un revêtement.
    D'un point de vue topologique on peut le voir car l'application du groupe fondamental de E dans B n'est pas injectif. (Un groupe libre à 3 générateurs ne s'injecte pas dans un à 1 générateur)
    D'un point de vue algébrique, avec quelques calculs on obtient que cette application admet en général deux images n'ayant que deux antécédents (dont un double, deux nappes se frolent en un point), l'autre cas est la solution triple () (les trois nappes viennent se coller en un point)
    Les deux visions sont équivalentes, de manière générale pour des fonctions du type (z-a)(z-b)(z-c)... l'ensemble des racines multiples l'image variant dans C\{0} comptés avec leur multiplicité moins 1 est égal au nombre de "trous" dans l'espace de départ moins un.

    Un petit détail "3 avec multiplicité" et non "exactement 3" change tout (la vraie fibre topologique de cette application est connexe, elle a l'homotopie d'un bouquet de deux cercles)
    Cela a permis de voir ce qu'un revêtement interdit des singularités autorisant plusieurs branchements possibles.

  12. #9
    pliofree

    Re : revêtement

    J'ai lu ton resumé avec intéret et je pense avoir compris les idées.notament comment récupurer les lacets de E a partir de ceux de B j'avais vraiment pas compris j'avais compris que les lacets que l'on remonter pouvait ne pas etre des lacet de E mais j'avais pas si que si on remonte un lacet qui fait plusieur tour on pouvait quand meme tomber sur un lacet ,ca a ete trés instructif.J'ai pas trop bien lu les dernier remarque sur les revetement universelle ;

    mais je ne vois pas encore le champ d'application de cette théorie ...(???) je suis pas encore persuader de son utilité .faudrait que je voit sur un exemple ou j'ai du mal a voir je pense qu'avec le tore double au triple mon cerveau niveau decoupage ne suis plus donc ca sera un bon exemple d'application .

    En tout cas un enorme MERCI
    a plus

  13. #10
    martini_bird

    Re : revêtement

    Salut,

    Citation Envoyé par homotopie
    Désolé de contrarier mais cette application n'est pas un revêtement.
    D'un point de vue topologique on peut le voir car l'application du groupe fondamental de E dans B n'est pas injectif.
    Bah oui merci. Je cherchais un exemple tordu mais celui-ci (inspiré des fonctions elliptiques) l'était trop...

    Cordialement.

  14. #11
    homotopie

    Re : revêtement

    En fait, après réflexion, avec modifs, on peut en faire un revêtement : on retire les 2 points ayant une image double ou le point ayant une image triple ainsi que tous leurs antécédents (2*2 ou 1). C'est un revêtement qui ne respecte pas mon affirmation un peu légère d'injectivité (elle est vraie par contre quand le groupe fondamental de B est abélien, peut-être peut-on se contenter de l'abélianité de celui de E). En fait, la longue suite exacte d'homotopie demande quand quelques hypothèses sur le groupe fondamental.
    Ca ne retire rien par rapport à la remarque pour ce genre d'applications dans C\{0}. Mais, lorsque la base a un groupe non abélien, il y a des revêtements plus complexes. A force de n'utiliser les revêtements et autres fibrés pour simplifier l'étude de plus gros espaces, donc à base B "gentille", j'avais un peu oublié des exemples de ce type.
    Pour pliofree, les pages à partir de la 43 du Paulin sont très intéressantes avec quelques graphiques il fait notamment comprendre la différence entre les revêtements galoisiens et les autres.

  15. #12
    pliofree

    Re : revêtement

    ok pour l'instant je laisse un peu reposé la theorie ,le probleme c'est que j'ai pas beaucoup d'exemple,par exemple le revetement universel d'un double tore c'est koi c'est IR² ,a mon avis non sinon on aurait le double tore comme quotient de IR² par par un groupe ,je ne pense pas qu'on puisse avoir ca. est ce que dans le cadre des surface compacte on peux arriver a trouver facilement les groupes fondamentaux et les revetements ? ?

    pliofree

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  17. #13
    rvz

    Re : revêtement

    R^2 / Z^2 est un double tore ....

    __
    rvz

  18. #14
    martini_bird

    Re : revêtement

    Salut,

    le revêtement universel d'une surface de Riemann est soit le plan, soit le disque uité, soit la sphère.

    http://jfviaud.club.fr/node16.html

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  19. #15
    martini_bird

    Re : revêtement

    Citation Envoyé par rvz
    R^2 / Z^2 est un double tore ....

    __
    rvz
    Pourquoi double?

    Pour moi un tore c'est un quotient de C par un réseau (un sous-groupe discret de rang 2)...

    Le revêtement universel du tore est donc le plan puisque celui-ci est simplement connexe.

    Cordialement.

    EDIT: enfin si ça te fait plaisir d'appeler tore un cercle.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  20. #16
    rvz

    Re : revêtement

    Exact ! Pour moi, un cercle, c'est un tore.

    __
    rvz, de toute façon, on est d'accord

  21. #17
    homotopie

    Re : revêtement

    Citation Envoyé par pliofree
    par exemple le revetement universel d'un double tore
    Un double tore est un quadruple cercle, son revêtement universel est quotienté par .

    Citation Envoyé par pliofree
    est ce que dans le cadre des surface compacte on peux arriver a trouver facilement les groupes fondamentaux et les revetements ? ?
    Pour les revêtements vus de manière générale ce serait facile on aurait classifier les variétés compactes de dimension quelconque depuis longtemps.
    Or, seules les surfaces le sont car on connaît leurs revêtements (cf. post de Martini_bird).
    Par contre pour une surface donnée (du moins quand le groupe fondamental est abélien) ce n'est pas très difficile.
    Pour les groupes fondamentaux, c'est parfois plus faciles avec des non-compacts (R, disques ouverts...)
    Généralement on calcule le groupe fondamental sans trop de problèmes mais il faut connaître quelques résultats fondamentaux topologiques et algébriques.
    Sinon parmi les plus simples : les sphères autres que le cercle c'est *, SO(n) c'est Z/2Z, U(n) c'est Z, SU(n) c'est *, RP(n) c'est Z/2Z, Cp(n) c'est *. C privé de n points c'est Z*Z*...*Z (n fois)

  22. #18
    martini_bird

    Re : revêtement

    Salut,

    Citation Envoyé par homotopie
    C privé de n points c'est Z*Z*...*Z (n fois)
    Ah bon, c'est pas le groupe libre à n générateurs?

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

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  24. #19
    rvz

    Re : revêtement

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    Ah bon, c'est pas le groupe libre à n générateurs?

    Cordialement.
    Si si, c'est la même chose.

    __
    rvz

  25. #20
    martini_bird

    Re : revêtement

    Citation Envoyé par rvz
    Si si, c'est la même chose.

    __
    rvz
    Ok, j'ai cru que homotopie parlait de et j'ai donc eu un doute.

    Merci.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  26. #21
    rvz

    Re : revêtement

    Citation Envoyé par martini_bird
    Ok, j'ai cru que homotopie parlait de et j'ai donc eu un doute.

    Merci.
    J'ai peut-être craqué

    Pour moi un groupe libre à n générateurs, c'est !

    Pourquoi ce serait différent ? Il y a quelque chose qui m'échappe

    __
    rvz

  27. #22
    martini_bird

    Re : revêtement

    Pour moi un groupe libre à deux générateurs disons a et b, c'est l'ensemble des mots formés par ces lettres: a, b, ab, ba, aab, etc.

    Du coup, ce n'est pas un groupe abélien car ab est différent de ba.

    http://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_libre

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  28. #23
    rvz

    Re : revêtement

    D'accord, tu as tout à fait raison

    La prochaine fois, je réfléchirai avant de poster...

    __
    rvz

  29. #24
    homotopie

    Re : revêtement

    "Chez moi", la notation Z*Z*...*Z désigne le groupe libre à n générateurs. Il se différencie donc de groupe abélien libre à n générateurs.
    Si <a>,<b> et Z sont isomorphes, dans le groupe <a>*<b>
    Donc Martini_bird nous sommes d'accord sur le groupe fondamental de C privé de n points, il n'y a qu'un problème de notation (j'ai supposé à tort que ma notation était universelle, je l'ai toujours vu noté ainsi mais cela dépend peut-être des domaines).

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  31. #25
    martini_bird

    Re : revêtement

    Salut homotopie,

    je ne connaissais pas cette notation (qui peut prêter à confusion, en témoignent ma réaction et celle de rvz), mais nous sommes en effet d'accord sur le fond.

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  32. #26
    gottfried

    Re : revêtement

    la catégorie Top des espaces topologiques et applications linéaires n'est qu'UN (pas "le") modèle d'homotopie. Un autre modèle est par ex. la catégorie sSet (en anglais) des ensembles simpliciaux. (par ex. travaux de R. Brown sur "covering maps of simplicial sets" ou de C. Rezk sur "the homotopy theory of homotopy theory")

    Ma question: est-ce que tous les ensembles simpliciaux sont semi-localement simplement connexes dont on peut avoir un revêtement universel?

  33. #27
    AncMath

    Re : revêtement

    Mes connaissances en la matière ont toujours été trop superficielles pour dire quelque chose d'intelligent. Donc ne me fait pas trop confiance. Mais qu'est ce qui t’empêche de prendre la fibre homotopique de l'application naturelle de dans . Le fait que cette suite soit fibrante entraîne que ta fibre homotopique est simplement connexe. Donc sa réalisation doit l'être également.

    Mais peut être va t on avoir un souci du au fait que la fibre homotopique n'est défini que dans la catégorie homotopique ? Je ne me rappelle plus si on peut en avoir un "modèle" bien défini, peut être pour un complexe de Kan.

    La réponse m'intéresse en fait.

  34. #28
    andretou

    Re : revêtement

    Pour les non-initiés, pouvez-vous SVP donner un exemple concret d'application de ces problèmes ?
    Bon, le connaissable c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

  35. #29
    AncMath

    Re : revêtement

    Qu'est ce qu'un exemple concret pour toi ?

  36. #30
    andretou

    Re : revêtement

    Je te remercie pour cette question !
    Par exemple, une application concrète du théorème de Pythagore est de permettre de tracer un angle droit (donc de construire une maison rectangulaire) grâce à une corde à 12 noeuds.
    Ou encore, le théorème de Thalès me permet de mesurer la hauteur d'une pyramide ou d'un arbre sans avoir à monter dessus.
    Plus généralement, les théorèmes mathématiques ne permettent-ils pas toujours de près ou de loin (voire de très très loin) de résoudre un problème concret, c'est à dire un problème qui puisse avoir une traduction physique ?
    Ainsi, le théorème de Fermat-Wiles, malgré tous ses développements intermédiaires abstraits (courbes elliptiques, conjecture de Shimura, etc...), n'a-t-il pas pour but (notamment) de m'éviter de chercher à construire un cube d'arête entière tel que son volume soit égal à la somme de 2 cubes d'arêtes entières ?
    Ou encore la conjecture de Riemann, lorsqu'elle sera résolue (à condition bien sûr que ce ne soit pas un problème indécidable !), n'a-t-elle pas pour but de me permettre de comprendre la répartition des nombres premiers, c'est-à-dire de pouvoir taper mes messages et faire mes virements bancaires en parfaite sécurité (ou le cas échéant en parfaite insécurité si l'on prouve qu'il existe une méthode pour factoriser simplement de très grands nombres en deux nombres premiers) ?...
    Selon ce principe, je me demande à quel problème concret cette question de revêtement se rattache-t-elle ?
    Quel est ton avis ?
    Bon, le connaissable c'est fait... Qu'est-ce qu'il nous reste maintenant à découvrir ?

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