Algèbre linéaire ou proba ?

[invite8c935645]

Bonsoir,

Je rencontre un problème dont je ne connais pas la réponse (et qui pourtant est important) et je ne sais si je peux l'aborder comme un problème d'algèbre linéaire ou de proba ...
Quelqu'un pourrait-il m'aider à le résoudre ? J'ai une idée de résolution mais j'ai vraiment besoin qu'on me dise si je me trompe et/ou si mes justifications sont correctes ...
Merci d'avance pour toute aide et toutes réponses !

Voici donc le problème :

On construit des vitraux rectangulaires à partir de l'assemblement de 6 carrés de verre coloré de même taille en 2 rangées de 3 éléments. Si 2 couleurs seulement sont disponibles, combien de vitraux différents pouvons-nous obtenir ? (Sachant que nous ne distinguons pas entre les faces des vitraux ; ces derniers peuvent donc être retournés).

En fait, ce problème est posé dans le cadre de mon cours d'algèbre linéaire, mais j'ai l'impression qu'on peut le traiter comme un problème de proba (en traitant le nombre de possibilités des vitraux différents).
--> Voici comment je procède (sans savoir si c'est correct ) :

Soit |G_A|.|G(x)|= 1.6=6
où |G_A| = {Id, sym} mais ici comme on a un rectangle constitué de 6 carrés, on que c'est =1

Je ne vois pas quelles rotations on pourrait considérer dans ce contexte, donc pas de contribution venant des rotations.

Comme on a 2 couleurs possibles pour chaque carré (disons B pour bleu et R pour rouge), on a :
soit 6 B et 0 R ;
soit 5 B et 1 R ;
soit 4 B et 2 R ;
soit 3 B et 3 R ;
soit 2 B et 4 R ;
soit 1 B et 5 R ;
soit 0 B et 6 R.
Donc 7 possibilités.
Mais pour chacune de ces possibilités, 6!=6.5.4.3.2.1 = 720 permutations sont possibles.
J'en déduis qu'en fait, on a donc : 7.6! = 7.720 possibilités.
Mais comme on peut retourner les carrés, il faudra multiplier ce résultat par : 0+2!+2!2!+2!2!2!+2!2!2!2!+2!2! 2!2!2!+2!2!2!2!2!2! = 126 (car soit aucun carré peut être retourné d'où 0, soit un carré peut être retourné d'où 2!, soit 2 carrés peuvent être retournés d'où 2!2! soit etc. etc.).

Ainsi le nombre de vitraux possible = (1/6).(126.7.720) = 105 840 ???

Je pense que je me trompe mais je ne vois pas comment procéder autrement ... Quelqu'un pour m'aider, sil' vous plaît ?
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[gg0]

Bonsoir.

C'est un problème de dénombrement, donc d'algèbre, pas de probabilités (Tu n'as pas utilisé d'aléatoire !). je ne vois pas trop de lien avec l'algèbre linéaire (espaces vectoriels) non plus.

Je n'ai pas trop compris tes histoires de retournement de carreaux (ça change quoi ?), mais le retournement de vitrail correspond à une symétrie axiale.

Cordialement.

[invite8c935645]

Merci pour ton aide.

Si, comme tu le dis, un retournement correspond à une symétrie axiale, alors cela permet de dire que certaines possibilités que j'ai énumérées sont comptées doublement et ça devrait donc réduire le nombre final que j'obtiens. Enfin, je pense.

Tu dis par ailleurs, que le retournement de carrés ne change rien à l'affaire (c'est possible mais je me demande pourquoi on a insiste en signalant qu'on peut retourner les carrés dans l'énoncé en fait ). Toujours est-il qu'alors je n'ai pas à multiplier le résultat par 126 et qu'en fait, le nombre final serait de 840 ? Ça me semble en effet déjà plus plausible.
Et donc, la justification pour cela viendrait du fait qu'un retournement correspond simplement à une symétrie axiale ?
Quelque chose me dit qu mon raisonnement est trop simple et qu'il manque des "trucs" ...
Enfin, déjà merci pour cette indication

[invite8c935645]

En relisant ce que tu m'as écris gg0, je crois qu'en fait, comme tu dis mon 126 n'a pas lieu d'être mais que le retournement de vitrail (et non des carrés individuels) fait qu'on obtient :
d'une part que : |G_A|.|G(x)|= 2.6 =12 (et non 1.6=6 comme je le pensais avant et cela grâce au 2 dû "à ton retournement de vitrail" )
et d'autre part, qu'au final, on obtient alors le résultat :
(1/12).(7.6!) = 7.60 = 420

Ça me semble en tout cas déjà plus plausible

Est-ce que quelqu'un saurait confirmer ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

u dis par ailleurs, que le retournement de carrés ne change rien à l'affaire (c'est possible mais je me demande pourquoi on a insiste en signalant qu'on peut retourner les carrés dans l'énoncé en fait ).

Dans l'énoncé tel qu'il est dans ton premier message, il n'est pas question de retournement de carrés, mais de retournement de vitraux. C'est toi qui l'a écrit.

Sinon, ton problème revient à choisir les couleurs de 6 carreaux parmi deux couleurs, sachant que deux remplissages qui se correspondent par symétrie axial (horizontale ou verticale) ou symétrie centrale (rotation d'un demi tour) sont un seul et même remplissage.
Au départ, tu n'as que 2⁶ remplissages, dont certains sont les mêmes, donc je crois que ton 420 est bien trop fort.

Bonne réflexion !

[invite8c935645]

Merci à nouveau pour ton aide.

En tenant compte de tes nouvelles indications, je me dis qu'on peut peut-être procéder de la façon suivante :
Le vitrail peut être "schématisé" comme un rectangle où chaque sommet est relié à 3 autre sommets càd :

1-2-3
| | |
6-5-4

où d'une part, le sommet 1 est également relié à au sommet 4 et d'autre part, le sommet 3 est relié au sommet 6 (mais je n'ai pas su le "dessiner" sur l'écran).
(Ou pour être "plus clair", le sommet 1 est relié aux sommets 2, 4 et 6 ;
le sommet 2 est relié aux sommets 1, 3 et 5 ;
le sommet 3 est relié aux sommets 2, 4 et 6 ;
le sommet 4 est relié aux sommets 3,5 et 1 ;
le sommet 5 est relié aux sommets 2,4 et 6 ;
le sommet 6 est relié aux sommets 1,3 et 5).

L'ordre de ce graphe = |G| = 6.1=6 ("car dès qu'on fixe un des sommets, tout est fixé").

Id : 2^6 = 64

Pour les symétries, on peut voir ça de la façon suivante :
(1,4)(2,5)(3,6) (càd symétrie centrale) dont le PPCM ("plus petit commun multiple") de {2,2,2} (car chacune des 3 orbites contient 2 éléments) est : 2

(1,6)(2,5)(3,4) (càd symétrie axiale) dont le PPCM ("plus petit commun multiple") de {2,2,2} (car chaque orbite contient 2 éléments) est : 2

(1,3)(6,4)(2,5) (càd rotation de 180°) dont le PPCM ("plus petit commun multiple") de {2,2,2} (car chaque orbite contient 2 éléments) est : 2

D'où Sym (càd rotations ou symétries axiales ou centrale) : 2^3 = 8
(Je ne vois pas d'autre symétrie ...).

On ne déduit que le nombre total de vitrail possible est : (1/6).(64+8) = 72/6 = 12 ???

C'est sans doute idiot de ma part, mais du coup, ça me paraît peu ... Qu'en pensez-vous ?

[gg0]

Tu peux vérifier : Il est facile de construire les 64 vitraux et d'éliminer ceux qui sont identiques à symétrie près.

Cordialement.

[invite8c935645]

Le problème, c'est qu'en dessinant chaque vitrail possible (enfin, si je n'en ai pas oublié), j'en obtiens 24 (= (1+2+6)x2+6)) différents !
Et non 12 comme je viens de trouver ... Il doit me manquer des symétries quelque part ...

Bon, il devrait y a voir une petite rectification càd que le nombre total de vitraux possible = (1/6)(2^6+2^3.2)=(1/6)(64+16) = 80/6 (et dans ce cas, je n'obtiens même pas un nombre entier ).
(Le "fois 2 après 2^3", je le mets car pour chaque symétrie faut considérer les 2 couleurs possibles).

??

[invite8c935645]

Dans mon dernier message, je m'embrouille (désolée).

Je crois plutôt qu'avec le raisonnement suivi, on obtient :
(1/6)(2^6 +6.2^3) = (1/6)(64+48)= 112/6 (qui n'est pas encore un nombre entier et pas égal à 24) Mais ça s'y rapproche ... C'est peut-être au niveau des rotations, que je loupe des choses pour arriver au 144/6=24 ...

[invite8c935645]

Je m'excuse pour le nombre de messages d'affilée, mais j'ai peut-être trouvé la solution ... Seulement je ne vois as trop comment l'écrire en quelque sorte.

Je pense que le (1/6)(2^6 + 6.2^3) est juste mais qu'il manque dans la 2e parenthèse la contribution des compositions d'une symétrie axiale avec une rotation par exemple et que cette contribution donnerait 2 (car 2 couleurs possibles) fois 2^4 (car il y aurait 4 compositions possibles d'une sym avec une rotation).
A ce moment-là, on obtiendrait bel et bien :
(1/6)(2^6 + 6.2^3 + 2.2^4) = 24