Distance hyperbolique.

[invite2eb7329a]

Bonjour, j'aurais une question au sujet d'un exercice, qui consiste à démontrer l'inégalité triangulaire d'une distance. On se place dans le demi-plan des complexes ayant une parti imaginaire strictement positive (noté ).


On considére une application de classe tel que et , où a<b.


La longueur de cette application est le réel :.


De manière naturelle, la distance entre ces deux points et est alors :
d(za,zb)=.
Je n'arrive donc pas à montrer que pour 3 points appartenant à ,,l'inégalité suivante est vérifiée :
.
La solution est peux être évidente mais elle m'échappe...
Merci d'avance pour vos suggestions .
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[Seirios]

Bonjour,

Si tu as un chemin qui relie et , puis un chemin qui relie et , alors la concaténation relie et . Par la relation de Chasles sur les intégrales, . Je te laisse conclure.

Remarque : C'est peut-être une faute de frappe, mais .

[invite2eb7329a]

Merci bien

[invite2eb7329a]

Bonjour, en essayant moi même, le passage de me pose problème (je suis à peu près sur que mon résultat est faux ...)
Peux tu m'expliquer se passage?
Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Attention : est une concaténation et non une composition !

[invite2eb7329a]

D'accord j’espère que je pourrai convaincre mon auditoire.
Je conclus en disant que comme cela marche pour tous les chemins gamma, cela marche en particulier pour la géodésique reliant les deux points a et c, puis que comme b se trouve sur cette géodésique , d(a,c)=d(a,b)+d(b,c) , et que l'inégalité apparaît si b ne se situe pas sur la géodésique? (car d(a,b)<L(a,b), d(b,c)<L(b,c))

[Seirios]

Il suffit de raisonner sur les bornes inférieures. On a , puis en prenant les bornes inférieures sur puis sur du membre de gauche, on obtient bien .

[invite2eb7329a]

Merci pour votre aide!