limite produit de cosinus

[invite75a796c1]

Bonjour,

le produit de cos( x / 2^n ) avec n tendant vers l'infini est sin(2n)/2n ( Briot 1849 )

Comment passer de là au produit de cos( Cste + x / 2^n ) ?

Auriez vous SVP un lien pour des limites de produits en cos(x * f(n) ) avec f fonction réelle , ( idéalement variant entre environ y =1.1x à y=0.9x ) ?

C'est pour tenter de transformer un algorithme en expression formelle.
merci
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[invitef3414c56]

Bonjour,

Je vous rappelle la notion de convergence usuelle pour le produit infini des u_n où u_n est une suite réelle ou complexe: on demande qu'il existe un entier N tel que u_k est non nul pour k supérieur à N, et de plus que la suite

converge vers une limite non nulle L. Le produit infini vaut alors En considérant v_{n+1}/v_n, ceci implique que la suite u_n converge vers 1.

Prenons pour une constante a. Il résulte de ce qui précède que si le produit infini des u_n est convergent, on a la limite de u_k, qui est , qui vaut 1. Donc a est multiple pair de Pi, et on est ramené au cas a=0.

Cordialement.

[Elie520]

Bonjour à toi,

"le produit de cos( x / 2^n ) avec n tendant vers l'infini est sin(2n)/2n ( Briot 1849 )"

J'imagine que tu parles de . Déjà, ceci peut valoir zéro si on n'exclut pas certains (je te laisse voir ca). La limite est alors lorsqu'elle n'est pas nulle et que (quoi que la formule serait encore "valable").

Ensuite la réponse à ton problème est en fait assez simple : quelle est la limite de quand tend vers ?

Il y a 3 cas à distinguer, et tu peux alors conclure. Dis moi comment tu avances.

[invite75a796c1]

Bonjour,

merci de vos réponses Jedoniuor et Elie520.
Je constate avoir écrit au lieu de , veuillez m'en excuser. Il s'agit bien du produit avec k variant de 0 à N.
Donc, ce serait plutôt dans le cas d'une constante nulle.

J'ai bien vu les cas d'annulation de cos et des contraintes sur x pour que ne pas avoir de +-

tend vers quand n tend vers oo , ce qui peut valoir 0 si C = +-

Mais la suite n'est pas encore claire pour moi, désolé ; j'ai bien quelques idées mais je vais cogiter pour comprendre cette approche
merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite75a796c1]

Bonjour,

je parcours des tables avec des centaines d'identités remarquables en trigo ( identités, limites, sommes et produits simplifiants, etc ) à la recherche d'une expression formelle la plus élégante possible. C'est un peu fou mais c'est une démarche déjà observée.

Il y aura des vérifications des résultats : c'est plus facile de donner l'une des formules approchées que de soumettre un algo , fut il clairement écrit en C.
Ce serait démoralisant de rater une évidence qui m'aurait échappé alors que le plus dur est derrière moi ... J'aurais pu rendre des résultats depuis 15 jours.

Le produit limité ou infini que je dois retrouver doit être le plus simple possible sans valeur arbitraire. Pour l'illustrer : l'algo fonctionne aussi bien avec des produits de séries de 20 éléments que 40. Je pourrais donc présenter la formule aussi bien comme un produit de 20 termes que 40 , aussi injustifiables l'un que l'autre. Si je n'arrive pas par la voie élégante, j'exprimerai le 20 ou le 40 en fonction d'une autre valeur, quoique trop abstraite ET approximative , pour bien m'en tirer.

Sin(x)/x ( ou son quasi équivalent sin(2x)/2x ) et leurs amotissements étaient de très bons candidats. Pour le tester il faudrait la même chose pour un produit de sinus.

Pour en revenir au calcul de la limite, je ne sais pas retrouver tout seul ( pas été chercher la soluce ) sin(x)/x comme limite du produit. Multiplier infiniment par des nombres compris entre -1 et 1 devrait tendre vers 0 ... Mais la convergence dit que non. D'ailleurs la démo de Briot pour sin(2x)/2x n'est pas claire non plus pour moi. Faudra clarifier tout ça ...

A la recherche aujourd'hui d'un outil qui marche , je n'arrive pas à me concentrer sur la subtilité de leurs conceptions. Mais dès que j'en ai terminé avec mon casse tête actuel, je m'y mets parce qu'en fait, c'est ce qui m'intéresse en général.
merci encore

[Elie520]

Bon, ca a l'air un peu confus dans ta tête alors je vais t'expliquer d'où viens cette "formule magique".

Soit tel que : . Alors pour tout on peut écrire (via la formule ) :

.

Alors on a un produite télescopique : les termes consécutifs se "simplifient presque" : Si :

.

Mais tu sais : . Donc :

.

Maintenant, tu vois a posteriori que les que l'on a éliminé au début vérifient aussi cette formule.

Bon, ca c'est une chose.

Maintenant : "un produit de termes entre -1 et 1 ca devrait tendre vers zéro". C'est exactement la même chose que de dire "une somme infinie de termes positifs non nuls tend vers l'infini" par passage à la valeur absolue puis au logarithme. Pourtant, ca je suis sur que tu sais que ce n'est pas vrai.

Enfin, pour répondre au problème initial, tu as bien observé que . Alors tu as presque fini :

Si , ton produit ne peut pas converger (au sens ou s'il converge, c'est vers 0). Ceci a bien été traduit par Jedoniuor.
Si , alors .

En espérant que tu as compris.

[Elie520]

EDIT : Si un modérateur pouvait supprimer le message précédent, dans lequel se sont glissées 3 erreurs ligne 5. Merci

Bon, ca a l'air un peu confus dans ta tête alors je vais t'expliquer d'où viens cette "formule magique".

Soit tel que : . Alors pour tout on peut écrire (via la formule ) :

.

Alors on a un produite télescopique : les termes consécutifs se "simplifient presque" : Si :

.

Mais tu sais : . Donc :

.

Maintenant, tu vois a posteriori que les que l'on a éliminés au début vérifient aussi cette formule.

Bon, ca c'est une chose.

Maintenant : "un produit de termes entre -1 et 1 ca devrait tendre vers zéro". C'est exactement la même chose que de dire "une somme infinie de termes positifs non nuls tend vers l'infini" par passage à la valeur absolue puis au logarithme. Pourtant, ca je suis sur que tu sais que ce n'est pas vrai.

Enfin, pour répondre au problème initial, tu as bien observé que . Alors tu as presque fini (Je répète ce qu'a dit Jedoniuor précédemment) :

Si , ton produit ne peut pas converger (au sens ou s'il converge, c'est vers 0).
Si , alors .

En espérant que tu as compris.

[invite75a796c1]

bonsoir,

oui, c'est plus clair pour la première partie ...
OK pour l'analogie avec les sommes ... Ca n'est pas évident à première vue mais là je comprends le rôle de 1 avec la convergence ...

Si Cos(C) = 1 , ce sont bien les limites des produits infinis qui seront les mêmes ... OK ! merci pour ce cours particulier

[Elie520]

Ce n'est pas exactement "les limites des produits infinis qui seront les mêmes", puisque meme si la limite quand n tend vers l'infini c'est cos(C), aucun terme n'est égal à cos(C). Comme la somme des 1/n² : Aucun terme n'est nulle, MAIS, les termes tendent "assez vite" vers 0 pour que la somme converge. C'est pareil pour le produit :si les termes tendent "assez vite" vers 1 ca peut converger. Sinon, ce n'est pas possible.

Comme je ne suis pas sur que tu voies pourquoi, voici la preuve lorsque cos(C) différent de 1 : Soit tel que :

Comme chaque terme tend vers cos(C), il existe (par définition), un N entier tel que :

.
Mais alors : qui tend vers zéro quand n tend ver l'infini.

[invite75a796c1]

Bonjour,

j'ai effectué des simulations pour mieux voir ce qui se passe avec différentes suites convergeant plus ou moins vite vers des limites avant sur et après 1. J'aurais peut être du préciser qu'il s'agissait de valeurs absolues. Je vois bien qu'il y a 3 limites ( celles de la suite, de la somme et du produit ) et comprends mieux le rôle joué par une limite de suite convergente, en particulier dans un produit. La convergence vers 1- est particulièrement intéressante si on recherche un résultat de produit, fini et non nul.

Cependant ce résultat invalide l'option d'un produit infini : j'espérais une formule "magique" sans indice de suite , comme dans un Zénon , et toujours efficace.
Les produits limités à N éléments ( 5 à 20 ) sont efficaces dans les algos , je devrais surement me contenter de cette formulation ...

NB : je ne cherche pas à faire faire un exercice scolaire dans ce travail , étant plus près de la retraite que d'un premier emploi. Au départ c'était ludique , maintenant c'est une affaire de passion du résultat pour ce qu'il serait.

[Armen92]

Bonjour,

Il me semble que les problèmes qui vous intéressent ont un rapport avec les convolutions de Bernoulli, sur lesquelles Paul Erdös a travaillé dans les années 1940. Peut-être y trouverez-vous quelques pistes.

Cordialement

[invite75a796c1]

Bonjour,

Vous m'indiquez là une piste intéressante ... Ca parle de fractales mais surtout de propriétés de distributions , exactement ce sur quoi je travaille

Je vais me plonger dans les cours du sujet immédiatement.


merci !