Petit o et grand O

[lamusaraigne]

Bonjour,
Je travaille sur les développements limités de fonctions, et en me promenant à droite à gauche je trouve des o ou O.
Par exemple pour e^x:
petit o.PNG
ou
grand O.PNG

Alors je sais que o implique O, et jusque là tout va bien.
Mais doit-on en déduire de ces deux développements que o(x^n) implique O(x^n+1)? Ou est-ce que cela n'a rien à voir?

En lisant des cours je trouve comme condition à l'utilisation de la formule de Taylor le fait que la fonction soit n fois dérivable et on utilise o, le fait qu'elle soit n+1 fois dérivable et on utilise O, et à nouveau se pose la question du lien entre o(x^n) et O(x^n+1).

Bref tout ceci m'a embrouillé, et j'aimerais comprendre, parce que je ne trouve pas de solution, si on peut conclure à un lien entre o(x^n) et O(x^n+1)?

Merci d'avance.
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[toothpick-charlie]

considère la fonction f(n) = x^(n+1/2) elle est un o(x^(n+1)) mais n'est pas un O(x^n) (quand n-> +infini)

[lamusaraigne]

Merci pour la réponse, je suis d'accord avec ce que tu dis...
mais ça ne répond pas à ma question ....
Tu pars d'un petit o de x^n+1 pour faire le lien avec grand O de x^n.
Ce n'est pas ce que je veux.
En partant de petit o de x^n, est-ce qu'on peut arriver à un grand O de x^n+1?

PS: je suppose que dans ta parenthèse tu voulais dire quand x tend vers l'infini?

[lamusaraigne]

Modif: J'ai lu trop vite, désolé pour le PS.
Je travaille sur des x appartenant à un voisinage de a réel, et je veux étudier le lien entre o(x^n) et O(x^n+1) pour un n fixé.
La fonction en n ne m'aide pas trop à y voir plus clair.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Hamb]

Bonjour,

Ce type de développement limité provient par exemple de la formule de Taylor avec reste intégral. En majorant le reste on constate que c'est un O(x^(n+1)). Un petit calcul montre ensuite qu'un O(x^(n+1)) est aussi un o(x^n).

[lamusaraigne]

J'ai fini par trouvé ça. Est-ce que c'est correct?

[Hamb]

Bonsoir,

tu affirmes que si alors il existe tel que
le problème est que cette assertion est mal quantifiée, et cela mène à des erreurs. Il faut bien faire la différence entre :

et :


La première assertion est vraie, cependant dans ton argument tu utilises la deuxième assertion qui elle est fausse.
D'ailleurs, tu ne trouveras pas d'argument général pour prouver ce que tu veux prouver puisque ce n'est pas vrai en général. (cf. messages précédents)

[lamusaraigne]

Merci pour la réponse Hamb.
Je ne visualise pas trop la différence entre les deux assertions.
Pour la deuxième tu dis Que:
SI il existe C>0 TEL QUE quelque soit x appartenant à ]0;1[ ALORS on a x>C. C'est ça?

Et du coup, en rapport avec ton message précédent, on peut dire (avec la formule de Taylor avec reste intégral) qu'on O(x^n+1) implique le o(x^n), c'est ça? (Et il faut que je me penche sur ce calcul!) On aurait donc toujours l'implication dans ce sens, mais pas celle que je recherchais.
Donc si je travaille sur des développement limités et que je termine avec un O(x^n+1), je peux mettre o(x^n) sans me poser de question, mais dans l'autre sens c'est pas possible.

Mais la formule de Taylor-Lagrange qui nous dit que il existe un $ appartenant à ]a,x[ tel que Rn(x)=f^(n+1)($)(x-a)^(n+1)/(n+1)!, ne permet-elle pas d'arriver au O(x^n+1)?

Oui je sais je pose beaucoup de questions, mais je ne veux pas laisser de point d'obscurité

[Hamb]

Bonjour,

La différence est que dans la première assertion la valeur de C peut être (et même en fait est) différente pour chaque valeur de x, alors que dans la deuxième assertion la constante C est indépendante de la valeur de x.
Lorsque dans la deuxième partie de ta preuve tu utilises le fait que , tu sous-entends que cela est vrai quelle que soit la valeur de
Plus précisément, tu affirmes qu'il existe une constante telle que , ce qui est faux (pourquoi ?)

Maintenant, pour en revenir à la question sur o et O, je redis les choses bien précisément pour qu'il n'y ait pas de confusion. Je parlerai de o et de O au voisinage de pour simplifier les choses et puisque l'exemple que tu donnes dans ton message est un développement limité en zéro (cas le plus fréquemment rencontré).
l'assertion suivante est fausse :
« Si est une fonction telle que au voisinage de , alors au voisinage de » contre-exemple :

par contre l'assertion suivante est vraie :
« Si est une fonction telle que au voisinage de , alors au voisinage de ». La démonstration de ce résultat est un exercice élémentaire à partir des définitions que je te conseille d'essayer de résoudre.

Maintenant, la formule de taylor-lagrange te donne une expression du reste du développement limité d'une fonction au voisinage de . C'est la formule que tu as donnée dans ton message. Si on se place encore en pour simplifier, on peut majorer l'expression du reste et obtenir que :
au voisinage de
Enfin, en utilisant ce résultat et en appliquant le résultat du petit exercice, on en déduit finalement :
au voisinage de

J'espère que c'est plus clair comme ça. N'hésite pas s'il y a encore des points obscurs.

[lamusaraigne]

Bonjour Hamb, merci encore,
Réponse du jour:
Contre exemple maîtrisé, et donc je m'incline devant le fait que je n'arriverai pas à passer de o(x^n) à 0(x^n+1) au voisinage de 0 puisque c'était ça qui m'intéressait.
Tentative de démo effectuée, ça me semble juste mais je te la propose quand même.

Du coup de la l'histoire du reste de la formule de Taylor me semble aussi une évidence.

Et donc première question du jour histoire d'éclairer mes lumières.
Dans ma première démo.
Si on avait envie de ne fait rien de plus on peut affirmer que pour tout x dans ]0;1], on trouvera toujours un C>0 tel que x>C. Et le C dépend de la valeur de x.
Mais quand je veux travailler sur ma majoration par epsilon.1/C, la je fixe le C pour tous les x, et c'est de la que vient ma boulette, si j'ai bien compris?
C'est presque comme si on avait dit il existe un unique C... Je pensais que vu qu'on peut toujours en trouver un permettait quand même d'écrire la majoration. Mais pour arriver à la conclusion il faudrait que ce C soit fixé, et soit le même pour tous les x, c'est ça?

Et deuxième question, si on ne travaille pas au voisinage de a=0, mais d'un a>1, la première partie de la démo n'était pas fausse, l’implication o(x^n) => O(x^n+1) est donc vraie cette fois-ci, si je dis pas de bêtises bien sur!
(Bon l'utilité reste moins intéressante puisqu'en général on travaille au voisinage de zéro, mais là c'est plus pour ma culture gé, et des fois que je traine au bord de l'infini, qui sait, ça me servira peut-être...)

[Hamb]

Bonjour,

Tu as bien compris, et ta preuve de l'exercice est correcte.
En effet ton erreur venait bien du fait que pour conclure il faudrait que le C soit indépendant de x dans ta majoration. En effet, dire qu'une fonction f de la variable x est bornée, c'est dire qu'il existe une constante C indépendant de x telle que |f(x)| < C. Si on ne demandait pas que C soit indépendant de x dans la définition, alors toute fonction serait bornée !

Ensuite, si tu places dans un voisinage de , alors les fonctions pour n entier positif ne tendent ni vers 0 ni vers l'infini. la notion de o(x^n) ou O(x^n) est donc peu intéressante. (Tu peux réfléchir à ce que cela signifie dans ce cas pour une fonction d'être o(x^n) ou O(x^n))
D'ailleurs lorsque tu te places au voisinage de la formule de Taylor-Lagrange te dit que le reste est un au voisinage de . C'est donc la même situation qu'en à une translation près.

[lamusaraigne]

Flute j'avais oublié le x-a!!!!

Mais du coup tu me perturbes encore avec ta réponse (j'ai l'impression d'être une gamine de deux ans qui enchaine les pourquoi?...)
Dire qu'un fonction f(x) est un o(x^n) au voisinage de a, ça veut dire que f(x)/x^n tend vers 0 quand x tend vers a. on a pas forcément besoin que les fonctions x^n tendent vers 0?

[Hamb]

Oui la définition marche exactement pareil. Ce que je voulais dire c'est simplement que les fonctions x^n ne donnent pas une échelle intéressante pour mesurer la vitesse de convergence, car elles ont toutes une limite finie en a si a est non-nul.

tu peux vérifier qu'on a le résultat suivant : si , alors ( au voisinage de a lorsque tend vers )

[lamusaraigne]

Et bien un super merci à toi!
L'échange fut très intéressant j'ai redécouvert plein de choses, enfin au final bien peu, parce que j'ai un vaste programme de révisions qui m'attend, mais il faut bien commencer par un bout.
Merci beaucoup pour ta patience et au plaisir de ré-échanger avec toi!

[Hamb]

Pas de problème, bon courage !