Nombres composés et symétries axiales sur un disque

[Archyves]

Bonjour,

J’ai une culture mathématique plutôt faible (niveau BAC), et j’ai une question de novice sur un lien possible que j’imagine entre géométrie et nombres composés.

On distribue un nombre entier N de points de la manière la plus uniforme possible à la surface d’un disque, par exemple en imaginant chaque point comme une particule dotée d’une force répulsive inversement proportionnelle à la distance.

Je n’en suis pas sûr mais j’ai le sentiment que si N est un nombre composé, on devrait obtenir des solutions qui présentent géométriquement des symétries axiales (on prenant comme axe le centre du disque), dont l’ordre est celui des diviseurs du nombre N.

Est-ce que c'est quelque chose de :
1°) Connu ? 2°) Faux ? 3°) A creuser ? ... Qu’en pensez-vous ?

Merci de votre réponse.
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[Dlzlogic]

Je suis pas sûr de très bien comprendre.
Qu'entendez-vous par "nombre composé" ?
Le problème avec un espace circulaire, c'est : que se passe-t-il sur les bords ?
Prenez un papier quadrillé, et tracez un cercle. Vous n'obtenez des symétries que si le centre du cercle se trouve à l'intersection des lignes ou des interlignes.
Il en est de même pour un quadrillage triangulaire.
Par contre, si la distance des points au bord du disque est prise en compte, à mon avis c'est certainement faux.
Ce problème a été posé sous un aspect un peu différent il n'y a pas très longtemps. La question était de savoir combien on pouvait de petits disques dans un grand disque. Il s'agissait en fait de tuyaux.
Mais j'en sais pas plus.

[Archyves]

Nombre composé : un nombre qui a des diviseurs autres que un et lui même (un nombre non premier).
La contrainte qui régit la distance des points est à l'image d'une force répulsive et les bords du disque ont cette même propriété de répulsion vis à vis des points : je pense qu'ainsi il y a moins de solutions possibles, et que les solutions pourront avoir des propriétés de symétrie.

[Seirios]

Bonsoir,

On distribue un nombre entier N de points de la manière la plus uniforme possible à la surface d’un disque, par exemple en imaginant chaque point comme une particule dotée d’une force répulsive inversement proportionnelle à la distance.

Je n’en suis pas sûr mais j’ai le sentiment que si N est un nombre composé, on devrait obtenir des solutions qui présentent géométriquement des symétries axiales (on prenant comme axe le centre du disque), dont l’ordre est celui des diviseurs du nombre N.

J'ai l'impression qu'il y a au moins deux solutions possibles : les N points sont alignés sur une droite passant par le centre du disque et les N points sont sur les sommets d'un polygone régulier à N côtés centré en l'origine du disque. Dans le premier cas, il n'y a qu'une seule symétrie axiale, dans le second il doit y en avoir N.

Pour ma part, je ne vois pas vraiment de distinction selon que N soit premier ou composé. Ensuite, qu'entends-tu par "ordre d'une symétrie axiale" ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[gg0]

Bonjour.

Si on place trois points dans le cercle, intuitivement, ils vont former un triangle équilatéral, centré sur le centre du cercle (qu'il y ait répulsion au bord ou pas). Il y aura alors trois axes de symétrie. Et 3 n'est pas composé.

Ce genre de choses est déjà étudié par les géomètres, mais je ne connais pas de référence précise.

Cordialement.

[Archyves]

Merci pour vos réponses.

Si on veut obtenir comme je l'indiquais au début une répartition "la plus uniforme possible" des N point sur la surface (même si j'ai du mal à définir cela correctement), ni les points alignés ni le polygone centré sur l'origine ne répondent à ce critère.

Je viens de trouver un cours intéressant : http://grasland.script.univ-paris-di...03/ch1/ch1.htm
A la fin du cours, chapitre C.2) "Test de la forme d’une distribution", au paragraphe "Méthode du plus proche voisin", il est expliqué comment on peut calculer un indice de dispersion qui caractérise la forme de la distribution des points sur une surface. Il est indiqué que cet indice va de 0 (tous les points sont confondus) à 2.149 : "dispersion maximale dans le cas d'une grille hexagonale" (mais à mon avis cela concerne une surface sans bord). Je vais essayer de creuser de ce côté, mais c'est vrai que le problème des bords n'a pas l'air simple.

La définition de symétrie d'ordre N : "Un objet est dit posséder une symétrie d'ordre n d'axe (d) lorsqu'il est globalement invariant par une rotation d'angle 2π/n autour de (d)."

[Archyves]

Bonjour.

Si on place trois points dans le cercle, intuitivement, ils vont former un triangle équilatéral, centré sur le centre du cercle (qu'il y ait répulsion au bord ou pas). Il y aura alors trois axes de symétrie. Et 3 n'est pas composé.

Ce genre de choses est déjà étudié par les géomètres, mais je ne connais pas de référence précise.

Cordialement.

Effectivement le triangle équilatéral centré sur l'origine du disque est invariant par rotation de 2pi sur 3, soit une symétrie d'ordre 3. Mais cela ne contredit pas mon idée.