Densité dans [0,1]

[invite15d642b9]

Bonjour à tous,

Je dois montrer que
A = { } est dense dans [0,1].

Je connais deux définitions qui permettent d'établir la densité :

- montrer que tout x de [0,1] est limite d'une suite à valeurs dans A

- montrer que ,
est non vide.

mais je ne sais pas comment partir.

Pouvez-vous m'aider ?
Plus généralement, quels réflexes avoir face à ce type d'exercices ?

Merci, sakusa
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[inviteea028771]

Je suppose qu'il y a eu une faute de frappe, et que c'est de qu'il s'agit.

On peut remarquer que si on écrit ce nombre en base 2, alors, à q fixé, il s'agit des nombres (entre 0 et 1) ayant au plus q chiffres dans leur développement décimal.

Donc il est assez facile, une fois donné un nombre x entre 0 et 1, de construire une suite d'éléments de A qui tend vers ce nombre : on prend la troncature de x aux n premières décimales en base 2.

[invite15d642b9]

J'ai pas compris le rapport avec la base 2.
Toutefois, je pense avoir mieux saisi l'idée.

Merci beaucoup !

[Seirios]

Une autre méthode est d'utiliser la propriété d'Archimède et le fait que tend vers zéro :

Si et , tu peux choisir un tel que pour ensuite poser . Il est alors possible de montrer que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

J'ai pas compris le rapport avec la base 2.
Toutefois, je pense avoir mieux saisi l'idée.

Merci beaucoup !

Simple, si p = 1001111 (en base 2) et q = 7, alors p/2^q = 0.1001111 (en base 2)

[invite15d642b9]

Merci à vous deux pour vos réponses, j'ai bien compris dans les deux cas !

[invite332de63a]

Bonjour, une autre méthode, utiliser la méthode de dichotomie en partant de 0 et 1